Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1937 / 403
↖ ↑ ↗
← N 73.073844°
E160.488281°		 ← 5 690.59 m → N 73.073844°
E160.664062°		 →
↑
5 698.99 m
↓
↑
5 698.99 m
↓
N 73.022592°
E160.488281°		 ← 5 707.32 m →
32 478 281 m²		 N 73.022592°
E160.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946044921875 y=0.197021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946044921875 × 211)
    floor (0.946044921875 × 2048)
    floor (1937.5)     		tx = 1937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197021484375 × 211)
    floor (0.197021484375 × 2048)
    floor (403.5)     		ty = 403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1937 / 403 ti = "11/1937/403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1937/403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1937 ÷ 211
    1937 ÷ 2048     		x = 0.94580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 403 ÷ 211
    403 ÷ 2048     		y = 0.19677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94580078125 × 2 - 1) × π
    0.8916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80104892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19677734375 × 2 - 1) × π
    0.6064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90520413849951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80104892} λ = 2.80104892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90520413849951))-π/2
    2×atan(6.72077945744254)-π/2
    2×1.42308774658201-π/2
    2.84617549316402-1.57079632675     		φ = 1.27537917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80104892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27537917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.073844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1937 KachelY 403 2.80104892 1.27537917 160.488281 73.073844
    Oben rechts KachelX + 1 1938 KachelY 403 2.80411688 1.27537917 160.664062 73.073844
    Unten links KachelX 1937 KachelY + 1 404 2.80104892 1.27448465 160.488281 73.022592
    Unten rechts KachelX + 1 1938 KachelY + 1 404 2.80411688 1.27448465 160.664062 73.022592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27537917-1.27448465) × R
    0.000894519999999899 × 6371000     		dl = 5698.98691999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27537917-1.27448465) × R
    0.000894519999999899 × 6371000     		dr = 5698.98691999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80104892-2.80411688) × cos(1.27537917) × R
    0.00306796000000009 × 0.291138961329864 × 6371000     		do = 5690.59432398396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80104892-2.80411688) × cos(1.27448465) × R
    0.00306796000000009 × 0.291994614822817 × 6371000     		du = 5707.31890419149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27537917)-sin(1.27448465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291138961329864-0.291994614822817)×R²
    abs(2.80411688-2.80104892)×0.000855653492953357×R²
    0.00306796000000009×0.000855653492953357×6371000²
    0.00306796000000009×0.000855653492953357×40589641000000     		ar = 32478281.366997m²