Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19369 / 14487
↖ ↑ ↗
← N 20.396124°
E 32.794189°		 ← 1 145.05 m → N 20.396124°
E 32.805176°		 →
↑
1 145.12 m
↓
↑
1 145.12 m
↓
N 20.385825°
E 32.794189°		 ← 1 145.13 m →
1 311 267 m²		 N 20.385825°
E 32.805176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591110229492188 y=0.442123413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591110229492188 × 215)
    floor (0.591110229492188 × 32768)
    floor (19369.5)     		tx = 19369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442123413085938 × 215)
    floor (0.442123413085938 × 32768)
    floor (14487.5)     		ty = 14487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19369 / 14487 ti = "15/19369/14487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19369/14487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19369 ÷ 215
    19369 ÷ 32768     		x = 0.591094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14487 ÷ 215
    14487 ÷ 32768     		y = 0.442108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591094970703125 × 2 - 1) × π
    0.18218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57236658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442108154296875 × 2 - 1) × π
    0.11578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363745194316986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57236658} λ = 0.57236658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363745194316986))-π/2
    2×atan(1.43870757658265)-π/2
    2×0.963387916266176-π/2
    1.92677583253235-1.57079632675     		φ = 0.35597951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57236658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.794189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35597951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.396124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19369 KachelY 14487 0.57236658 0.35597951 32.794189 20.396124
    Oben rechts KachelX + 1 19370 KachelY 14487 0.57255833 0.35597951 32.805176 20.396124
    Unten links KachelX 19369 KachelY + 1 14488 0.57236658 0.35579977 32.794189 20.385825
    Unten rechts KachelX + 1 19370 KachelY + 1 14488 0.57255833 0.35579977 32.805176 20.385825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35597951-0.35579977) × R
    0.000179739999999984 × 6371000     		dl = 1145.1235399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35597951-0.35579977) × R
    0.000179739999999984 × 6371000     		dr = 1145.1235399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57236658-0.57255833) × cos(0.35597951) × R
    0.000191750000000046 × 0.937305570827478 × 6371000     		do = 1145.04927456678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57236658-0.57255833) × cos(0.35579977) × R
    0.000191750000000046 × 0.937368196628222 × 6371000     		du = 1145.12578070303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35597951)-sin(0.35579977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937305570827478-0.937368196628222)×R²
    abs(0.57255833-0.57236658)×6.26258007442315e-05×R²
    0.000191750000000046×6.26258007442315e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.26258007442315e-05×40589641000000     		ar = 1311266.68678503m²