Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19366 / 20985
↖ ↑ ↗
← S 45.034715°
E 32.761231°		 ← 863.31 m → S 45.034715°
E 32.772217°		 →
↑
863.27 m
↓
↑
863.27 m
↓
S 45.042478°
E 32.761231°		 ← 863.19 m →
745 216 m²		 S 45.042478°
E 32.772217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591018676757812 y=0.640426635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591018676757812 × 215)
    floor (0.591018676757812 × 32768)
    floor (19366.5)     		tx = 19366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640426635742188 × 215)
    floor (0.640426635742188 × 32768)
    floor (20985.5)     		ty = 20985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19366 / 20985 ti = "15/19366/20985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19366/20985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19366 ÷ 215
    19366 ÷ 32768     		x = 0.59100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20985 ÷ 215
    20985 ÷ 32768     		y = 0.640411376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59100341796875 × 2 - 1) × π
    0.1820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57179134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.28082275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.882230700607513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57179134} λ = 0.57179134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882230700607513))-π/2
    2×atan(0.413858686406695)-π/2
    2×0.392396138114025-π/2
    0.78479227622805-1.57079632675     		φ = -0.78600405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57179134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.761231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78600405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.034715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19366 KachelY 20985 0.57179134 -0.78600405 32.761231 -45.034715
    Oben rechts KachelX + 1 19367 KachelY 20985 0.57198309 -0.78600405 32.772217 -45.034715
    Unten links KachelX 19366 KachelY + 1 20986 0.57179134 -0.78613955 32.761231 -45.042478
    Unten rechts KachelX + 1 19367 KachelY + 1 20986 0.57198309 -0.78613955 32.772217 -45.042478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78600405--0.78613955) × R
    0.000135500000000066 × 6371000     		dl = 863.270500000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78600405--0.78613955) × R
    0.000135500000000066 × 6371000     		dr = 863.270500000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57179134-0.57198309) × cos(-0.78600405) × R
    0.000191750000000046 × 0.706678224898524 × 6371000     		do = 863.305856656571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57179134-0.57198309) × cos(-0.78613955) × R
    0.000191750000000046 × 0.706582347408368 × 6371000     		du = 863.188728951405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78600405)-sin(-0.78613955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706678224898524-0.706582347408368)×R²
    abs(0.57198309-0.57179134)×9.58774901561599e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58774901561599e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58774901561599e-05×40589641000000     		ar = 745215.923223202m²