Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19362 / 15066
↖ ↑ ↗
← N 14.328260°
E 32.717285°		 ← 1 183.64 m → N 14.328260°
E 32.728272°		 →
↑
1 183.67 m
↓
↑
1 183.67 m
↓
N 14.317615°
E 32.717285°		 ← 1 183.69 m →
1 401 069 m²		 N 14.317615°
E 32.728272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590896606445312 y=0.459793090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590896606445312 × 215)
    floor (0.590896606445312 × 32768)
    floor (19362.5)     		tx = 19362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459793090820312 × 215)
    floor (0.459793090820312 × 32768)
    floor (15066.5)     		ty = 15066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19362 / 15066 ti = "15/19362/15066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19362/15066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19362 ÷ 215
    19362 ÷ 32768     		x = 0.59088134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15066 ÷ 215
    15066 ÷ 32768     		y = 0.45977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59088134765625 × 2 - 1) × π
    0.1817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57102435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45977783203125 × 2 - 1) × π
    0.0804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.252723334796936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57102435} λ = 0.57102435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.252723334796936))-π/2
    2×atan(1.28752701363141)-π/2
    2×0.910435817122626-π/2
    1.82087163424525-1.57079632675     		φ = 0.25007531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57102435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.717285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25007531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.328260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19362 KachelY 15066 0.57102435 0.25007531 32.717285 14.328260
    Oben rechts KachelX + 1 19363 KachelY 15066 0.57121610 0.25007531 32.728272 14.328260
    Unten links KachelX 19362 KachelY + 1 15067 0.57102435 0.24988952 32.717285 14.317615
    Unten rechts KachelX + 1 19363 KachelY + 1 15067 0.57121610 0.24988952 32.728272 14.317615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25007531-0.24988952) × R
    0.000185789999999991 × 6371000     		dl = 1183.66808999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25007531-0.24988952) × R
    0.000185789999999991 × 6371000     		dr = 1183.66808999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57102435-0.57121610) × cos(0.25007531) × R
    0.000191750000000046 × 0.968893786970851 × 6371000     		do = 1183.63867924501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57102435-0.57121610) × cos(0.24988952) × R
    0.000191750000000046 × 0.968939748986817 × 6371000     		du = 1183.69482824773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25007531)-sin(0.24988952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968893786970851-0.968939748986817)×R²
    abs(0.57121610-0.57102435)×4.59620159662943e-05×R²
    0.000191750000000046×4.59620159662943e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.59620159662943e-05×40589641000000     		ar = 1401068.56963358m²