Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19360 / 20960
↖ ↑ ↗
← S 44.840291°
E 32.695312°		 ← 866.23 m → S 44.840291°
E 32.706299°		 →
↑
866.14 m
↓
↑
866.14 m
↓
S 44.848080°
E 32.695312°		 ← 866.12 m →
750 227 m²		 S 44.848080°
E 32.706299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590835571289062 y=0.639663696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590835571289062 × 215)
    floor (0.590835571289062 × 32768)
    floor (19360.5)     		tx = 19360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639663696289062 × 215)
    floor (0.639663696289062 × 32768)
    floor (20960.5)     		ty = 20960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19360 / 20960 ti = "15/19360/20960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19360/20960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19360 ÷ 215
    19360 ÷ 32768     		x = 0.5908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20960 ÷ 215
    20960 ÷ 32768     		y = 0.6396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57064085} λ = 0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877437010645508))-π/2
    2×atan(0.415847359370005)-π/2
    2×0.394092808697276-π/2
    0.788185617394552-1.57079632675     		φ = -0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19360 KachelY 20960 0.57064085 -0.78261071 32.695312 -44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 19361 KachelY 20960 0.57083260 -0.78261071 32.706299 -44.840291
    Unten links KachelX 19360 KachelY + 1 20961 0.57064085 -0.78274666 32.695312 -44.848080
    Unten rechts KachelX + 1 19361 KachelY + 1 20961 0.57083260 -0.78274666 32.706299 -44.848080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78261071--0.78274666) × R
    0.000135949999999996 × 6371000     		dl = 866.137449999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78261071--0.78274666) × R
    0.000135949999999996 × 6371000     		dr = 866.137449999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57064085-0.57083260) × cos(-0.78261071) × R
    0.000191750000000046 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 866.2339229802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57064085-0.57083260) × cos(-0.78274666) × R
    0.000191750000000046 × 0.708979189377179 × 6371000     		du = 866.116805176553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78261071)-sin(-0.78274666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.708979189377179)×R²
    abs(0.57083260-0.57064085)×9.58693850471315e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58693850471315e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58693850471315e-05×40589641000000     		ar = 750226.922251456m²