Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19360 / 14813
↖ ↑ ↗
← N 17.004262°
E 32.695312°		 ← 1 168.23 m → N 17.004262°
E 32.706299°		 →
↑
1 168.31 m
↓
↑
1 168.31 m
↓
N 16.993755°
E 32.695312°		 ← 1 168.30 m →
1 364 901 m²		 N 16.993755°
E 32.706299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590835571289062 y=0.452072143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590835571289062 × 215)
    floor (0.590835571289062 × 32768)
    floor (19360.5)     		tx = 19360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452072143554688 × 215)
    floor (0.452072143554688 × 32768)
    floor (14813.5)     		ty = 14813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19360 / 14813 ti = "15/19360/14813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19360/14813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19360 ÷ 215
    19360 ÷ 32768     		x = 0.5908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14813 ÷ 215
    14813 ÷ 32768     		y = 0.452056884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452056884765625 × 2 - 1) × π
    0.09588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.301235477212433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57064085} λ = 0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.301235477212433))-π/2
    2×atan(1.35152755801207)-π/2
    2×0.933788340914241-π/2
    1.86757668182848-1.57079632675     		φ = 0.29678036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29678036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.004262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19360 KachelY 14813 0.57064085 0.29678036 32.695312 17.004262
    Oben rechts KachelX + 1 19361 KachelY 14813 0.57083260 0.29678036 32.706299 17.004262
    Unten links KachelX 19360 KachelY + 1 14814 0.57064085 0.29659698 32.695312 16.993755
    Unten rechts KachelX + 1 19361 KachelY + 1 14814 0.57083260 0.29659698 32.706299 16.993755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29678036-0.29659698) × R
    0.000183380000000011 × 6371000     		dl = 1168.31398000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29678036-0.29659698) × R
    0.000183380000000011 × 6371000     		dr = 1168.31398000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57064085-0.57083260) × cos(0.29678036) × R
    0.000191750000000046 × 0.956283004616163 × 6371000     		do = 1168.23285254732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57064085-0.57083260) × cos(0.29659698) × R
    0.000191750000000046 × 0.956336616704942 × 6371000     		du = 1168.29834717924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29678036)-sin(0.29659698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956283004616163-0.956336616704942)×R²
    abs(0.57083260-0.57064085)×5.36120887790759e-05×R²
    0.000191750000000046×5.36120887790759e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.36120887790759e-05×40589641000000     		ar = 1364901.03649835m²