Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1936 / 2327
↖ ↑ ↗
← S 23.805450°
W  9.843750°		 ← 8 941.51 m → S 23.805450°
W  9.755860°		 →
↑
8 938.70 m
↓
↑
8 938.70 m
↓
S 23.885838°
W  9.843750°		 ← 8 935.97 m →
79 900 781 m²		 S 23.885838°
W  9.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4727783203125 y=0.5682373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4727783203125 × 212)
    floor (0.4727783203125 × 4096)
    floor (1936.5)     		tx = 1936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5682373046875 × 212)
    floor (0.5682373046875 × 4096)
    floor (2327.5)     		ty = 2327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1936 / 2327 ti = "12/1936/2327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1936/2327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1936 ÷ 212
    1936 ÷ 4096     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2327 ÷ 212
    2327 ÷ 4096     		y = 0.568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.13623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.427980639807861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.427980639807861))-π/2
    2×atan(0.651824034115116)-π/2
    2×0.577656425576795-π/2
    1.15531285115359-1.57079632675     		φ = -0.41548348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41548348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.805450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1936 KachelY 2327 -0.17180585 -0.41548348 -9.843750 -23.805450
    Oben rechts KachelX + 1 1937 KachelY 2327 -0.17027187 -0.41548348 -9.755860 -23.805450
    Unten links KachelX 1936 KachelY + 1 2328 -0.17180585 -0.41688651 -9.843750 -23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 1937 KachelY + 1 2328 -0.17027187 -0.41688651 -9.755860 -23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41548348--0.41688651) × R
    0.00140302999999997 × 6371000     		dl = 8938.70412999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41548348--0.41688651) × R
    0.00140302999999997 × 6371000     		dr = 8938.70412999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.17027187) × cos(-0.41548348) × R
    0.00153398000000002 × 0.914921279279134 × 6371000     		do = 8941.51338415151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.17027187) × cos(-0.41688651) × R
    0.00153398000000002 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 8935.97006229837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41548348)-sin(-0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914921279279134-0.91435407069783)×R²
    abs(-0.17027187--0.17180585)×0.000567208581304102×R²
    0.00153398000000002×0.000567208581304102×6371000²
    0.00153398000000002×0.000567208581304102×40589641000000     		ar = 79900780.6654034m²