Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19358 / 15098
↖ ↑ ↗
← N 13.987376°
E 32.673340°		 ← 1 185.42 m → N 13.987376°
E 32.684326°		 →
↑
1 185.45 m
↓
↑
1 185.45 m
↓
N 13.976715°
E 32.673340°		 ← 1 185.47 m →
1 405 287 m²		 N 13.976715°
E 32.684326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590774536132812 y=0.460769653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590774536132812 × 215)
    floor (0.590774536132812 × 32768)
    floor (19358.5)     		tx = 19358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460769653320312 × 215)
    floor (0.460769653320312 × 32768)
    floor (15098.5)     		ty = 15098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19358 / 15098 ti = "15/19358/15098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19358/15098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19358 ÷ 215
    19358 ÷ 32768     		x = 0.59075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15098 ÷ 215
    15098 ÷ 32768     		y = 0.46075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59075927734375 × 2 - 1) × π
    0.1815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57025736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46075439453125 × 2 - 1) × π
    0.0784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.246587411645569
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57025736} λ = 0.57025736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246587411645569))-π/2
    2×atan(1.27965103473167)-π/2
    2×0.907461047720026-π/2
    1.81492209544005-1.57079632675     		φ = 0.24412577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57025736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24412577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.987376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19358 KachelY 15098 0.57025736 0.24412577 32.673340 13.987376
    Oben rechts KachelX + 1 19359 KachelY 15098 0.57044911 0.24412577 32.684326 13.987376
    Unten links KachelX 19358 KachelY + 1 15099 0.57025736 0.24393970 32.673340 13.976715
    Unten rechts KachelX + 1 19359 KachelY + 1 15099 0.57044911 0.24393970 32.684326 13.976715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24412577-0.24393970) × R
    0.000186069999999983 × 6371000     		dl = 1185.45196999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24412577-0.24393970) × R
    0.000186069999999983 × 6371000     		dr = 1185.45196999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57025736-0.57044911) × cos(0.24412577) × R
    0.000191749999999935 × 0.970349004234116 × 6371000     		do = 1185.41642977041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57025736-0.57044911) × cos(0.24393970) × R
    0.000191749999999935 × 0.970393962063974 × 6371000     		du = 1185.47135201996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24412577)-sin(0.24393970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970349004234116-0.970393962063974)×R²
    abs(0.57044911-0.57025736)×4.49578298585829e-05×R²
    0.000191749999999935×4.49578298585829e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.49578298585829e-05×40589641000000     		ar = 1405286.79984062m²