Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19358 / 14698
↖ ↑ ↗
← N 69.941607°
W 73.663330°		 ← 209.51 m → N 69.941607°
W 73.657837°		 →
↑
209.48 m
↓
↑
209.48 m
↓
N 69.939723°
W 73.663330°		 ← 209.53 m →
43 889 m²		 N 69.939723°
W 73.657837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.295387268066406 y=0.224281311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.295387268066406 × 216)
    floor (0.295387268066406 × 65536)
    floor (19358.5)     		tx = 19358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224281311035156 × 216)
    floor (0.224281311035156 × 65536)
    floor (14698.5)     		ty = 14698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19358 / 14698 ti = "16/19358/14698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19358/14698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19358 ÷ 216
    19358 ÷ 65536     		x = 0.295379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14698 ÷ 216
    14698 ÷ 65536     		y = 0.224273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.295379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.40924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.28566765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224273681640625 × 2 - 1) × π
    0.55145263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73243955226883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.28566765} λ = -1.28566765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73243955226883))-π/2
    2×atan(5.65443137706279)-π/2
    2×1.39575383024645-π/2
    2.7915076604929-1.57079632675     		φ = 1.22071133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.28566765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.663330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22071133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.941607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19358 KachelY 14698 -1.28566765 1.22071133 -73.663330 69.941607
    Oben rechts KachelX + 1 19359 KachelY 14698 -1.28557177 1.22071133 -73.657837 69.941607
    Unten links KachelX 19358 KachelY + 1 14699 -1.28566765 1.22067845 -73.663330 69.939723
    Unten rechts KachelX + 1 19359 KachelY + 1 14699 -1.28557177 1.22067845 -73.657837 69.939723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22071133-1.22067845) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dl = 209.478480000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22071133-1.22067845) × R
    3.28800000000129e-05 × 6371000     		dr = 209.478480000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.28566765--1.28557177) × cos(1.22071133) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.342977649886536 × 6371000     		do = 209.508405039975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.28566765--1.28557177) × cos(1.22067845) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343008535317527 × 6371000     		du = 209.527271451206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22071133)-sin(1.22067845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342977649886536-0.343008535317527)×R²
    abs(-1.28557177--1.28566765)×3.08854309910567e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.08854309910567e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.08854309910567e-05×40589641000000     		ar = 43889.4782925382m²