Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19353 / 14507
↖ ↑ ↗
← N 20.190035°
E 32.618408°		 ← 1 146.57 m → N 20.190035°
E 32.629395°		 →
↑
1 146.59 m
↓
↑
1 146.59 m
↓
N 20.179724°
E 32.618408°		 ← 1 146.65 m →
1 314 692 m²		 N 20.179724°
E 32.629395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590621948242188 y=0.442733764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590621948242188 × 215)
    floor (0.590621948242188 × 32768)
    floor (19353.5)     		tx = 19353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442733764648438 × 215)
    floor (0.442733764648438 × 32768)
    floor (14507.5)     		ty = 14507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19353 / 14507 ti = "15/19353/14507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19353/14507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19353 ÷ 215
    19353 ÷ 32768     		x = 0.590606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14507 ÷ 215
    14507 ÷ 32768     		y = 0.442718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590606689453125 × 2 - 1) × π
    0.18121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56929862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442718505859375 × 2 - 1) × π
    0.11456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359910242347382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56929862} λ = 0.56929862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359910242347382))-π/2
    2×atan(1.43320076805025)-π/2
    2×0.961589457650277-π/2
    1.92317891530055-1.57079632675     		φ = 0.35238259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56929862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.618408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35238259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.190035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19353 KachelY 14507 0.56929862 0.35238259 32.618408 20.190035
    Oben rechts KachelX + 1 19354 KachelY 14507 0.56949037 0.35238259 32.629395 20.190035
    Unten links KachelX 19353 KachelY + 1 14508 0.56929862 0.35220262 32.618408 20.179724
    Unten rechts KachelX + 1 19354 KachelY + 1 14508 0.56949037 0.35220262 32.629395 20.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35238259-0.35220262) × R
    0.000179969999999974 × 6371000     		dl = 1146.58886999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35238259-0.35220262) × R
    0.000179969999999974 × 6371000     		dr = 1146.58886999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56929862-0.56949037) × cos(0.35238259) × R
    0.000191750000000046 × 0.938553062449513 × 6371000     		do = 1146.5732592963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56929862-0.56949037) × cos(0.35220262) × R
    0.000191750000000046 × 0.938615161190615 × 6371000     		du = 1146.64912155581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35238259)-sin(0.35220262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938553062449513-0.938615161190615)×R²
    abs(0.56949037-0.56929862)×6.2098741101746e-05×R²
    0.000191750000000046×6.2098741101746e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.2098741101746e-05×40589641000000     		ar = 1314691.63270823m²