Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19352 / 15095
↖ ↑ ↗
← N 14.019356°
E 32.607422°		 ← 1 185.25 m → N 14.019356°
E 32.618408°		 →
↑
1 185.26 m
↓
↑
1 185.26 m
↓
N 14.008697°
E 32.607422°		 ← 1 185.31 m →
1 404 865 m²		 N 14.008697°
E 32.618408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590591430664062 y=0.460678100585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590591430664062 × 215)
    floor (0.590591430664062 × 32768)
    floor (19352.5)     		tx = 19352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460678100585938 × 215)
    floor (0.460678100585938 × 32768)
    floor (15095.5)     		ty = 15095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19352 / 15095 ti = "15/19352/15095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19352/15095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19352 ÷ 215
    19352 ÷ 32768     		x = 0.590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15095 ÷ 215
    15095 ÷ 32768     		y = 0.460662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590576171875 × 2 - 1) × π
    0.18115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56910687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460662841796875 × 2 - 1) × π
    0.07867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.24716265444101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56910687} λ = 0.56910687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24716265444101))-π/2
    2×atan(1.28038735653168)-π/2
    2×0.907740121440731-π/2
    1.81548024288146-1.57079632675     		φ = 0.24468392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56910687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.607422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24468392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.019356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19352 KachelY 15095 0.56910687 0.24468392 32.607422 14.019356
    Oben rechts KachelX + 1 19353 KachelY 15095 0.56929862 0.24468392 32.618408 14.019356
    Unten links KachelX 19352 KachelY + 1 15096 0.56910687 0.24449788 32.607422 14.008697
    Unten rechts KachelX + 1 19353 KachelY + 1 15096 0.56929862 0.24449788 32.618408 14.008697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24468392-0.24449788) × R
    0.000186039999999998 × 6371000     		dl = 1185.26083999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24468392-0.24449788) × R
    0.000186039999999998 × 6371000     		dr = 1185.26083999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56910687-0.56929862) × cos(0.24468392) × R
    0.000191749999999935 × 0.970213943712954 × 6371000     		do = 1185.25143453663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56910687-0.56929862) × cos(0.24449788) × R
    0.000191749999999935 × 0.970258995051632 × 6371000     		du = 1185.30647102023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24468392)-sin(0.24449788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970213943712954-0.970258995051632)×R²
    abs(0.56929862-0.56910687)×4.50513386779372e-05×R²
    0.000191749999999935×4.50513386779372e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.50513386779372e-05×40589641000000     		ar = 1404864.73125643m²