Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19351 / 15090
↖ ↑ ↗
← N 14.072645°
E 32.596435°		 ← 1 184.98 m → N 14.072645°
E 32.607422°		 →
↑
1 185.01 m
↓
↑
1 185.01 m
↓
N 14.061988°
E 32.596435°		 ← 1 185.03 m →
1 404 236 m²		 N 14.061988°
E 32.607422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590560913085938 y=0.460525512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590560913085938 × 215)
    floor (0.590560913085938 × 32768)
    floor (19351.5)     		tx = 19351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460525512695312 × 215)
    floor (0.460525512695312 × 32768)
    floor (15090.5)     		ty = 15090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19351 / 15090 ti = "15/19351/15090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19351/15090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19351 ÷ 215
    19351 ÷ 32768     		x = 0.590545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15090 ÷ 215
    15090 ÷ 32768     		y = 0.46051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590545654296875 × 2 - 1) × π
    0.18109130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56891512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46051025390625 × 2 - 1) × π
    0.0789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.248121392433411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56891512} λ = 0.56891512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248121392433411))-π/2
    2×atan(1.28161550117577)-π/2
    2×0.908205157853061-π/2
    1.81641031570612-1.57079632675     		φ = 0.24561399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56891512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.596435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24561399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.072645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19351 KachelY 15090 0.56891512 0.24561399 32.596435 14.072645
    Oben rechts KachelX + 1 19352 KachelY 15090 0.56910687 0.24561399 32.607422 14.072645
    Unten links KachelX 19351 KachelY + 1 15091 0.56891512 0.24542799 32.596435 14.061988
    Unten rechts KachelX + 1 19352 KachelY + 1 15091 0.56910687 0.24542799 32.607422 14.061988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24561399-0.24542799) × R
    0.000185999999999992 × 6371000     		dl = 1185.00599999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24561399-0.24542799) × R
    0.000185999999999992 × 6371000     		dr = 1185.00599999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56891512-0.56910687) × cos(0.24561399) × R
    0.000191750000000046 × 0.969988214961153 × 6371000     		do = 1184.97567543427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56891512-0.56910687) × cos(0.24542799) × R
    0.000191750000000046 × 0.970033424441694 × 6371000     		du = 1185.03090511017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24561399)-sin(0.24542799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969988214961153-0.970033424441694)×R²
    abs(0.56910687-0.56891512)×4.52094805415415e-05×R²
    0.000191750000000046×4.52094805415415e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.52094805415415e-05×40589641000000     		ar = 1404236.01304077m²