Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1935 / 404
↖ ↑ ↗
← N 73.022592°
E160.136719°		 ← 5 707.32 m → N 73.022592°
E160.312500°		 →
↑
5 715.68 m
↓
↑
5 715.68 m
↓
N 72.971189°
E160.136719°		 ← 5 724.09 m →
32 669 128 m²		 N 72.971189°
E160.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945068359375 y=0.197509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945068359375 × 211)
    floor (0.945068359375 × 2048)
    floor (1935.5)     		tx = 1935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197509765625 × 211)
    floor (0.197509765625 × 2048)
    floor (404.5)     		ty = 404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1935 / 404 ti = "11/1935/404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1935/404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1935 ÷ 211
    1935 ÷ 2048     		x = 0.94482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 404 ÷ 211
    404 ÷ 2048     		y = 0.197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94482421875 × 2 - 1) × π
    0.8896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79491300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197265625 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79491300} λ = 2.79491300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90213617692383))-π/2
    2×atan(6.70019196128016)-π/2
    2×1.42264048902014-π/2
    2.84528097804029-1.57079632675     		φ = 1.27448465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79491300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27448465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.022592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1935 KachelY 404 2.79491300 1.27448465 160.136719 73.022592
    Oben rechts KachelX + 1 1936 KachelY 404 2.79798096 1.27448465 160.312500 73.022592
    Unten links KachelX 1935 KachelY + 1 405 2.79491300 1.27358751 160.136719 72.971189
    Unten rechts KachelX + 1 1936 KachelY + 1 405 2.79798096 1.27358751 160.312500 72.971189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27448465-1.27358751) × R
    0.000897139999999963 × 6371000     		dl = 5715.67893999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27448465-1.27358751) × R
    0.000897139999999963 × 6371000     		dr = 5715.67893999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79491300-2.79798096) × cos(1.27448465) × R
    0.00306795999999965 × 0.291994614822817 × 6371000     		do = 5707.31890419067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79491300-2.79798096) × cos(1.27358751) × R
    0.00306795999999965 × 0.292852539805578 × 6371000     		du = 5724.087882877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27448465)-sin(1.27358751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291994614822817-0.292852539805578)×R²
    abs(2.79798096-2.79491300)×0.000857924982760661×R²
    0.00306795999999965×0.000857924982760661×6371000²
    0.00306795999999965×0.000857924982760661×40589641000000     		ar = 32669127.7048862m²