Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1935 / 1233
↖ ↑ ↗
← N 58.031373°
W  9.931641°		 ← 5 174.35 m → N 58.031373°
W  9.843750°		 →
↑
5 177.71 m
↓
↑
5 177.71 m
↓
N 57.984808°
W  9.931641°		 ← 5 181.09 m →
26 808 759 m²		 N 57.984808°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4725341796875 y=0.3011474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4725341796875 × 212)
    floor (0.4725341796875 × 4096)
    floor (1935.5)     		tx = 1935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3011474609375 × 212)
    floor (0.3011474609375 × 4096)
    floor (1233.5)     		ty = 1233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1935 / 1233 ti = "12/1935/1233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1935/1233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1935 ÷ 212
    1935 ÷ 4096     		x = 0.472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1233 ÷ 212
    1233 ÷ 4096     		y = 0.301025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301025390625 × 2 - 1) × π
    0.39794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25019434209106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17333983} λ = -0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25019434209106))-π/2
    2×atan(3.49102134392811)-π/2
    2×1.29181742249351-π/2
    2.58363484498701-1.57079632675     		φ = 1.01283852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01283852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.031373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1935 KachelY 1233 -0.17333983 1.01283852 -9.931641 58.031373
    Oben rechts KachelX + 1 1936 KachelY 1233 -0.17180585 1.01283852 -9.843750 58.031373
    Unten links KachelX 1935 KachelY + 1 1234 -0.17333983 1.01202582 -9.931641 57.984808
    Unten rechts KachelX + 1 1936 KachelY + 1 1234 -0.17180585 1.01202582 -9.843750 57.984808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01283852-1.01202582) × R
    0.0008127 × 6371000     		dl = 5177.7117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01283852-1.01202582) × R
    0.0008127 × 6371000     		dr = 5177.7117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17333983--0.17180585) × cos(1.01283852) × R
    0.00153397999999999 × 0.529454832823138 × 6371000     		do = 5174.35497589664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17333983--0.17180585) × cos(1.01202582) × R
    0.00153397999999999 × 0.530144102296652 × 6371000     		du = 5181.09119721129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01283852)-sin(1.01202582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529454832823138-0.530144102296652)×R²
    abs(-0.17180585--0.17333983)×0.000689269473514109×R²
    0.00153397999999999×0.000689269473514109×6371000²
    0.00153397999999999×0.000689269473514109×40589641000000     		ar = 26808758.8801654m²