Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19348 / 14356
↖ ↑ ↗
← N 21.739091°
E 32.563476°		 ← 1 134.76 m → N 21.739091°
E 32.574463°		 →
↑
1 134.80 m
↓
↑
1 134.80 m
↓
N 21.728886°
E 32.563476°		 ← 1 134.84 m →
1 287 770 m²		 N 21.728886°
E 32.574463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590469360351562 y=0.438125610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590469360351562 × 215)
    floor (0.590469360351562 × 32768)
    floor (19348.5)     		tx = 19348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438125610351562 × 215)
    floor (0.438125610351562 × 32768)
    floor (14356.5)     		ty = 14356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19348 / 14356 ti = "15/19348/14356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19348/14356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19348 ÷ 215
    19348 ÷ 32768     		x = 0.5904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14356 ÷ 215
    14356 ÷ 32768     		y = 0.4381103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5904541015625 × 2 - 1) × π
    0.180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56833988
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4381103515625 × 2 - 1) × π
    0.123779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.388864129717896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56833988} λ = 0.56833988}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.388864129717896))-π/2
    2×atan(1.47530408773225)-π/2
    2×0.975107522462573-π/2
    1.95021504492515-1.57079632675     		φ = 0.37941872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56833988} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.563476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37941872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.739091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19348 KachelY 14356 0.56833988 0.37941872 32.563476 21.739091
    Oben rechts KachelX + 1 19349 KachelY 14356 0.56853163 0.37941872 32.574463 21.739091
    Unten links KachelX 19348 KachelY + 1 14357 0.56833988 0.37924060 32.563476 21.728886
    Unten rechts KachelX + 1 19349 KachelY + 1 14357 0.56853163 0.37924060 32.574463 21.728886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37941872-0.37924060) × R
    0.000178120000000004 × 6371000     		dl = 1134.80252000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37941872-0.37924060) × R
    0.000178120000000004 × 6371000     		dr = 1134.80252000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56833988-0.56853163) × cos(0.37941872) × R
    0.000191749999999935 × 0.92888008732324 × 6371000     		do = 1134.75637321711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56833988-0.56853163) × cos(0.37924060) × R
    0.000191749999999935 × 0.928946044778879 × 6371000     		du = 1134.83694943375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37941872)-sin(0.37924060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92888008732324-0.928946044778879)×R²
    abs(0.56853163-0.56833988)×6.59574556390874e-05×R²
    0.000191749999999935×6.59574556390874e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.59574556390874e-05×40589641000000     		ar = 1287770.11436473m²