Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19344 / 14992
↖ ↑ ↗
← N 15.114553°
E 32.519531°		 ← 1 179.38 m → N 15.114553°
E 32.530518°		 →
↑
1 179.40 m
↓
↑
1 179.40 m
↓
N 15.103946°
E 32.519531°		 ← 1 179.44 m →
1 390 993 m²		 N 15.103946°
E 32.530518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590347290039062 y=0.457534790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590347290039062 × 215)
    floor (0.590347290039062 × 32768)
    floor (19344.5)     		tx = 19344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457534790039062 × 215)
    floor (0.457534790039062 × 32768)
    floor (14992.5)     		ty = 14992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19344 / 14992 ti = "15/19344/14992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19344/14992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19344 ÷ 215
    19344 ÷ 32768     		x = 0.59033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14992 ÷ 215
    14992 ÷ 32768     		y = 0.45751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59033203125 × 2 - 1) × π
    0.1806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56757289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    0.0849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266912657084473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56757289} λ = 0.56757289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266912657084473))-π/2
    2×atan(1.30592637793188)-π/2
    2×0.917297519684861-π/2
    1.83459503936972-1.57079632675     		φ = 0.26379871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56757289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.519531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26379871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.114553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19344 KachelY 14992 0.56757289 0.26379871 32.519531 15.114553
    Oben rechts KachelX + 1 19345 KachelY 14992 0.56776464 0.26379871 32.530518 15.114553
    Unten links KachelX 19344 KachelY + 1 14993 0.56757289 0.26361359 32.519531 15.103946
    Unten rechts KachelX + 1 19345 KachelY + 1 14993 0.56776464 0.26361359 32.530518 15.103946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26379871-0.26361359) × R
    0.000185119999999983 × 6371000     		dl = 1179.39951999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26379871-0.26361359) × R
    0.000185119999999983 × 6371000     		dr = 1179.39951999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56757289-0.56776464) × cos(0.26379871) × R
    0.000191750000000046 × 0.965406433429109 × 6371000     		do = 1179.3783912798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56757289-0.56776464) × cos(0.26361359) × R
    0.000191750000000046 × 0.965454686875687 × 6371000     		du = 1179.43733958408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26379871)-sin(0.26361359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965406433429109-0.965454686875687)×R²
    abs(0.56776464-0.56757289)×4.82534465779949e-05×R²
    0.000191750000000046×4.82534465779949e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.82534465779949e-05×40589641000000     		ar = 1390993.07434666m²