Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19343 / 15108
↖ ↑ ↗
← N 13.880746°
E 32.508545°		 ← 1 185.96 m → N 13.880746°
E 32.519531°		 →
↑
1 185.96 m
↓
↑
1 185.96 m
↓
N 13.870080°
E 32.508545°		 ← 1 186.02 m →
1 406 540 m²		 N 13.870080°
E 32.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590316772460938 y=0.461074829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590316772460938 × 215)
    floor (0.590316772460938 × 32768)
    floor (19343.5)     		tx = 19343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461074829101562 × 215)
    floor (0.461074829101562 × 32768)
    floor (15108.5)     		ty = 15108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19343 / 15108 ti = "15/19343/15108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19343/15108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19343 ÷ 215
    19343 ÷ 32768     		x = 0.590301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15108 ÷ 215
    15108 ÷ 32768     		y = 0.4610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590301513671875 × 2 - 1) × π
    0.18060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56738114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4610595703125 × 2 - 1) × π
    0.077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.244669935660767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56738114} λ = 0.56738114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244669935660767))-π/2
    2×atan(1.27719968555631)-π/2
    2×0.906530522181984-π/2
    1.81306104436397-1.57079632675     		φ = 0.24226472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56738114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.508545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24226472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.880746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19343 KachelY 15108 0.56738114 0.24226472 32.508545 13.880746
    Oben rechts KachelX + 1 19344 KachelY 15108 0.56757289 0.24226472 32.519531 13.880746
    Unten links KachelX 19343 KachelY + 1 15109 0.56738114 0.24207857 32.508545 13.870080
    Unten rechts KachelX + 1 19344 KachelY + 1 15109 0.56757289 0.24207857 32.519531 13.870080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24226472-0.24207857) × R
    0.000186149999999996 × 6371000     		dl = 1185.96164999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24226472-0.24207857) × R
    0.000186149999999996 × 6371000     		dr = 1185.96164999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56738114-0.56757289) × cos(0.24226472) × R
    0.000191750000000046 × 0.970797154445954 × 6371000     		do = 1185.96390765977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56738114-0.56757289) × cos(0.24207857) × R
    0.000191750000000046 × 0.970841795350196 × 6371000     		du = 1186.01844274055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24226472)-sin(0.24207857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970797154445954-0.970841795350196)×R²
    abs(0.56757289-0.56738114)×4.46409042417217e-05×R²
    0.000191750000000046×4.46409042417217e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.46409042417217e-05×40589641000000     		ar = 1406540.05508745m²