Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19343 / 14734
↖ ↑ ↗
← N 17.832375°
E 32.508545°		 ← 1 162.95 m → N 17.832375°
E 32.519531°		 →
↑
1 163.03 m
↓
↑
1 163.03 m
↓
N 17.821915°
E 32.508545°		 ← 1 163.02 m →
1 352 578 m²		 N 17.821915°
E 32.519531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590316772460938 y=0.449661254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590316772460938 × 215)
    floor (0.590316772460938 × 32768)
    floor (19343.5)     		tx = 19343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449661254882812 × 215)
    floor (0.449661254882812 × 32768)
    floor (14734.5)     		ty = 14734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19343 / 14734 ti = "15/19343/14734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19343/14734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19343 ÷ 215
    19343 ÷ 32768     		x = 0.590301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14734 ÷ 215
    14734 ÷ 32768     		y = 0.44964599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590301513671875 × 2 - 1) × π
    0.18060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56738114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44964599609375 × 2 - 1) × π
    0.1007080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.316383537492371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56738114} λ = 0.56738114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316383537492371))-π/2
    2×atan(1.37215642815174)-π/2
    2×0.941014986142679-π/2
    1.88202997228536-1.57079632675     		φ = 0.31123365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56738114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.508545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31123365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.832375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19343 KachelY 14734 0.56738114 0.31123365 32.508545 17.832375
    Oben rechts KachelX + 1 19344 KachelY 14734 0.56757289 0.31123365 32.519531 17.832375
    Unten links KachelX 19343 KachelY + 1 14735 0.56738114 0.31105110 32.508545 17.821915
    Unten rechts KachelX + 1 19344 KachelY + 1 14735 0.56757289 0.31105110 32.519531 17.821915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31123365-0.31105110) × R
    0.000182549999999948 × 6371000     		dl = 1163.02604999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31123365-0.31105110) × R
    0.000182549999999948 × 6371000     		dr = 1163.02604999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56738114-0.56757289) × cos(0.31123365) × R
    0.000191750000000046 × 0.95195650971984 × 6371000     		do = 1162.94743656704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56738114-0.56757289) × cos(0.31105110) × R
    0.000191750000000046 × 0.952012396737637 × 6371000     		du = 1163.01571034155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31123365)-sin(0.31105110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95195650971984-0.952012396737637)×R²
    abs(0.56757289-0.56738114)×5.58870177970183e-05×R²
    0.000191750000000046×5.58870177970183e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.58870177970183e-05×40589641000000     		ar = 1352577.86935317m²