Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19342 / 14735
↖ ↑ ↗
← N 17.821915°
E 32.497559°		 ← 1 162.96 m → N 17.821915°
E 32.508545°		 →
↑
1 163.03 m
↓
↑
1 163.03 m
↓
N 17.811456°
E 32.497559°		 ← 1 163.02 m →
1 352 587 m²		 N 17.811456°
E 32.508545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590286254882812 y=0.449691772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590286254882812 × 215)
    floor (0.590286254882812 × 32768)
    floor (19342.5)     		tx = 19342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449691772460938 × 215)
    floor (0.449691772460938 × 32768)
    floor (14735.5)     		ty = 14735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19342 / 14735 ti = "15/19342/14735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19342/14735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19342 ÷ 215
    19342 ÷ 32768     		x = 0.59027099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14735 ÷ 215
    14735 ÷ 32768     		y = 0.449676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59027099609375 × 2 - 1) × π
    0.1805419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56718940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449676513671875 × 2 - 1) × π
    0.10064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.31619178989389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56718940} λ = 0.56718940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.31619178989389))-π/2
    2×atan(1.37189334567543)-π/2
    2×0.940923715776107-π/2
    1.88184743155221-1.57079632675     		φ = 0.31105110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56718940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.497559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31105110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.821915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19342 KachelY 14735 0.56718940 0.31105110 32.497559 17.821915
    Oben rechts KachelX + 1 19343 KachelY 14735 0.56738114 0.31105110 32.508545 17.821915
    Unten links KachelX 19342 KachelY + 1 14736 0.56718940 0.31086855 32.497559 17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 19343 KachelY + 1 14736 0.56738114 0.31086855 32.508545 17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31105110-0.31086855) × R
    0.000182550000000004 × 6371000     		dl = 1163.02605000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31105110-0.31086855) × R
    0.000182550000000004 × 6371000     		dr = 1163.02605000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56718940-0.56738114) × cos(0.31105110) × R
    0.000191739999999996 × 0.952012396737637 × 6371000     		do = 1162.95505763145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56718940-0.56738114) × cos(0.31086855) × R
    0.000191739999999996 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 1163.02328909049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31105110)-sin(0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952012396737637-0.952068252030094)×R²
    abs(0.56738114-0.56718940)×5.58552924576627e-05×R²
    0.000191739999999996×5.58552924576627e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.58552924576627e-05×40589641000000     		ar = 1352586.70824282m²