Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19340 / 14771
↖ ↑ ↗
← N 17.444992°
E 32.475586°		 ← 1 165.45 m → N 17.444992°
E 32.486572°		 →
↑
1 165.51 m
↓
↑
1 165.51 m
↓
N 17.434510°
E 32.475586°		 ← 1 165.52 m →
1 358 384 m²		 N 17.434510°
E 32.486572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590225219726562 y=0.450790405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590225219726562 × 215)
    floor (0.590225219726562 × 32768)
    floor (19340.5)     		tx = 19340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450790405273438 × 215)
    floor (0.450790405273438 × 32768)
    floor (14771.5)     		ty = 14771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19340 / 14771 ti = "15/19340/14771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19340/14771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19340 ÷ 215
    19340 ÷ 32768     		x = 0.5902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14771 ÷ 215
    14771 ÷ 32768     		y = 0.450775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5902099609375 × 2 - 1) × π
    0.180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56680590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450775146484375 × 2 - 1) × π
    0.09844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.309288876348602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56680590} λ = 0.56680590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309288876348602))-π/2
    2×atan(1.3624558949448)-π/2
    2×0.937634436424564-π/2
    1.87526887284913-1.57079632675     		φ = 0.30447255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56680590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.475586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30447255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.444992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19340 KachelY 14771 0.56680590 0.30447255 32.475586 17.444992
    Oben rechts KachelX + 1 19341 KachelY 14771 0.56699765 0.30447255 32.486572 17.444992
    Unten links KachelX 19340 KachelY + 1 14772 0.56680590 0.30428961 32.475586 17.434510
    Unten rechts KachelX + 1 19341 KachelY + 1 14772 0.56699765 0.30428961 32.486572 17.434510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30447255-0.30428961) × R
    0.00018294000000002 × 6371000     		dl = 1165.51074000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30447255-0.30428961) × R
    0.00018294000000002 × 6371000     		dr = 1165.51074000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56680590-0.56699765) × cos(0.30447255) × R
    0.000191750000000046 × 0.954005209513869 × 6371000     		do = 1165.4502086469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56680590-0.56699765) × cos(0.30428961) × R
    0.000191750000000046 × 0.954060037137214 × 6371000     		du = 1165.51718822356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30447255)-sin(0.30428961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954005209513869-0.954060037137214)×R²
    abs(0.56699765-0.56680590)×5.48276233456324e-05×R²
    0.000191750000000046×5.48276233456324e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.48276233456324e-05×40589641000000     		ar = 1358383.77160947m²