Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1934 / 402
↖ ↑ ↗
← N 73.124945°
E159.960937°		 ← 5 673.93 m → N 73.124945°
E160.136719°		 →
↑
5 682.23 m
↓
↑
5 682.23 m
↓
N 73.073844°
E159.960937°		 ← 5 690.61 m →
32 287 990 m²		 N 73.073844°
E160.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944580078125 y=0.196533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944580078125 × 211)
    floor (0.944580078125 × 2048)
    floor (1934.5)     		tx = 1934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196533203125 × 211)
    floor (0.196533203125 × 2048)
    floor (402.5)     		ty = 402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1934 / 402 ti = "11/1934/402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1934/402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1934 ÷ 211
    1934 ÷ 2048     		x = 0.9443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 402 ÷ 211
    402 ÷ 2048     		y = 0.1962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    0.888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79184503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1962890625 × 2 - 1) × π
    0.607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9082721000752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79184503} λ = 2.79184503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9082721000752))-π/2
    2×atan(6.74143021223999)-π/2
    2×1.423533693341-π/2
    2.84706738668201-1.57079632675     		φ = 1.27627106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79184503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27627106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.124945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1934 KachelY 402 2.79184503 1.27627106 159.960937 73.124945
    Oben rechts KachelX + 1 1935 KachelY 402 2.79491300 1.27627106 160.136719 73.124945
    Unten links KachelX 1934 KachelY + 1 403 2.79184503 1.27537917 159.960937 73.073844
    Unten rechts KachelX + 1 1935 KachelY + 1 403 2.79491300 1.27537917 160.136719 73.073844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27627106-1.27537917) × R
    0.000891890000000117 × 6371000     		dl = 5682.23119000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27627106-1.27537917) × R
    0.000891890000000117 × 6371000     		dr = 5682.23119000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79184503-2.79491300) × cos(1.27627106) × R
    0.00306797000000003 × 0.290285591630776 × 6371000     		do = 5673.93287684497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79184503-2.79491300) × cos(1.27537917) × R
    0.00306797000000003 × 0.291138961329864 × 6371000     		du = 5690.61287244708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27627106)-sin(1.27537917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290285591630776-0.291138961329864)×R²
    abs(2.79491300-2.79184503)×0.000853369699087558×R²
    0.00306797000000003×0.000853369699087558×6371000²
    0.00306797000000003×0.000853369699087558×40589641000000     		ar = 32287990.2987455m²