Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1934 / 1082
↖ ↑ ↗
← N 64.396938°
W 10.019531°		 ← 4 223.24 m → N 64.396938°
W  9.931641°		 →
↑
4 226.14 m
↓
↑
4 226.14 m
↓
N 64.358931°
W 10.019531°		 ← 4 229.08 m →
17 860 349 m²		 N 64.358931°
W  9.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4722900390625 y=0.2642822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4722900390625 × 212)
    floor (0.4722900390625 × 4096)
    floor (1934.5)     		tx = 1934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2642822265625 × 212)
    floor (0.2642822265625 × 4096)
    floor (1082.5)     		ty = 1082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1934 / 1082 ti = "12/1934/1082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1934/1082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1934 ÷ 212
    1934 ÷ 4096     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1082 ÷ 212
    1082 ÷ 4096     		y = 0.26416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26416015625 × 2 - 1) × π
    0.4716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48182544105518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48182544105518))-π/2
    2×atan(4.40097206793724)-π/2
    2×1.34736745963135-π/2
    2.69473491926271-1.57079632675     		φ = 1.12393859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12393859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.396938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1934 KachelY 1082 -0.17487381 1.12393859 -10.019531 64.396938
    Oben rechts KachelX + 1 1935 KachelY 1082 -0.17333983 1.12393859 -9.931641 64.396938
    Unten links KachelX 1934 KachelY + 1 1083 -0.17487381 1.12327525 -10.019531 64.358931
    Unten rechts KachelX + 1 1935 KachelY + 1 1083 -0.17333983 1.12327525 -9.931641 64.358931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12393859-1.12327525) × R
    0.000663340000000012 × 6371000     		dl = 4226.13914000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12393859-1.12327525) × R
    0.000663340000000012 × 6371000     		dr = 4226.13914000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17333983) × cos(1.12393859) × R
    0.00153397999999999 × 0.432133949586091 × 6371000     		do = 4223.23929006724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17333983) × cos(1.12327525) × R
    0.00153397999999999 × 0.43273206073632 × 6371000     		du = 4229.08462231178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12393859)-sin(1.12327525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432133949586091-0.43273206073632)×R²
    abs(-0.17333983--0.17487381)×0.000598111150229008×R²
    0.00153397999999999×0.000598111150229008×6371000²
    0.00153397999999999×0.000598111150229008×40589641000000     		ar = 17860349.109947m²