Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 19337 / 17307
↖ ↑ ↗
← N 64.408804°
W 73.778687°		 ← 263.86 m → N 64.408804°
W 73.773193°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
N 64.406432°
W 73.778687°		 ← 263.88 m →
69 614 m²		 N 64.406432°
W 73.773193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.295066833496094 y=0.264091491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.295066833496094 × 216)
    floor (0.295066833496094 × 65536)
    floor (19337.5)     		tx = 19337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264091491699219 × 216)
    floor (0.264091491699219 × 65536)
    floor (17307.5)     		ty = 17307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 19337 / 17307 ti = "16/19337/17307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/19337/17307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19337 ÷ 216
    19337 ÷ 65536     		x = 0.295059204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17307 ÷ 216
    17307 ÷ 65536     		y = 0.264083862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.295059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.409881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.28768100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264083862304688 × 2 - 1) × π
    0.471832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48230481005138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.28768100} λ = -1.28768100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48230481005138))-π/2
    2×atan(4.40308226324045)-π/2
    2×1.34747101305424-π/2
    2.69494202610848-1.57079632675     		φ = 1.12414570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.28768100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.778687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12414570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.408804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19337 KachelY 17307 -1.28768100 1.12414570 -73.778687 64.408804
    Oben rechts KachelX + 1 19338 KachelY 17307 -1.28758512 1.12414570 -73.773193 64.408804
    Unten links KachelX 19337 KachelY + 1 17308 -1.28768100 1.12410429 -73.778687 64.406432
    Unten rechts KachelX + 1 19338 KachelY + 1 17308 -1.28758512 1.12410429 -73.773193 64.406432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12414570-1.12410429) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dl = 263.823109999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12414570-1.12410429) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dr = 263.823109999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.28768100--1.28758512) × cos(1.12414570) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.431947166568102 × 6371000     		do = 263.85556598037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.28768100--1.28758512) × cos(1.12410429) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.431984513831638 × 6371000     		du = 263.878379611575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12414570)-sin(1.12410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431947166568102-0.431984513831638)×R²
    abs(-1.28758512--1.28768100)×3.73472635363803e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.73472635363803e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.73472635363803e-05×40589641000000     		ar = 69614.2053991253m²