Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19336 / 14744
↖ ↑ ↗
← N 17.727759°
E 32.431641°		 ← 1 163.63 m → N 17.727759°
E 32.442627°		 →
↑
1 163.66 m
↓
↑
1 163.66 m
↓
N 17.717294°
E 32.431641°		 ← 1 163.70 m →
1 354 111 m²		 N 17.717294°
E 32.442627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590103149414062 y=0.449966430664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590103149414062 × 215)
    floor (0.590103149414062 × 32768)
    floor (19336.5)     		tx = 19336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449966430664062 × 215)
    floor (0.449966430664062 × 32768)
    floor (14744.5)     		ty = 14744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19336 / 14744 ti = "15/19336/14744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19336/14744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19336 ÷ 215
    19336 ÷ 32768     		x = 0.590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14744 ÷ 215
    14744 ÷ 32768     		y = 0.449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449951171875 × 2 - 1) × π
    0.10009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314466061507568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56603891} λ = 0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314466061507568))-π/2
    2×atan(1.36952787205533)-π/2
    2×0.940102041763515-π/2
    1.88020408352703-1.57079632675     		φ = 0.30940776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30940776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.727759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19336 KachelY 14744 0.56603891 0.30940776 32.431641 17.727759
    Oben rechts KachelX + 1 19337 KachelY 14744 0.56623066 0.30940776 32.442627 17.727759
    Unten links KachelX 19336 KachelY + 1 14745 0.56603891 0.30922511 32.431641 17.717294
    Unten rechts KachelX + 1 19337 KachelY + 1 14745 0.56623066 0.30922511 32.442627 17.717294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30940776-0.30922511) × R
    0.000182649999999951 × 6371000     		dl = 1163.66314999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30940776-0.30922511) × R
    0.000182649999999951 × 6371000     		dr = 1163.66314999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56603891-0.56623066) × cos(0.30940776) × R
    0.000191750000000046 × 0.952514070787353 × 6371000     		do = 1163.62857505139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56603891-0.56623066) × cos(0.30922511) × R
    0.000191750000000046 × 0.95256967083237 × 6371000     		du = 1163.69649824868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30940776)-sin(0.30922511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952514070787353-0.95256967083237)×R²
    abs(0.56623066-0.56603891)×5.56000450172567e-05×R²
    0.000191750000000046×5.56000450172567e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.56000450172567e-05×40589641000000     		ar = 1354111.21669936m²