Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19336 / 14472
↖ ↑ ↗
← N 20.550509°
E 32.431641°		 ← 1 143.90 m → N 20.550509°
E 32.442627°		 →
↑
1 143.91 m
↓
↑
1 143.91 m
↓
N 20.540221°
E 32.431641°		 ← 1 143.97 m →
1 308 564 m²		 N 20.540221°
E 32.442627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590103149414062 y=0.441665649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590103149414062 × 215)
    floor (0.590103149414062 × 32768)
    floor (19336.5)     		tx = 19336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441665649414062 × 215)
    floor (0.441665649414062 × 32768)
    floor (14472.5)     		ty = 14472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19336 / 14472 ti = "15/19336/14472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19336/14472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19336 ÷ 215
    19336 ÷ 32768     		x = 0.590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14472 ÷ 215
    14472 ÷ 32768     		y = 0.441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.590087890625 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56603891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441650390625 × 2 - 1) × π
    0.11669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.366621408294189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56603891} λ = 0.56603891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.366621408294189))-π/2
    2×atan(1.44285156406409)-π/2
    2×0.964735184974589-π/2
    1.92947036994918-1.57079632675     		φ = 0.35867404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56603891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.431641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35867404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.550509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19336 KachelY 14472 0.56603891 0.35867404 32.431641 20.550509
    Oben rechts KachelX + 1 19337 KachelY 14472 0.56623066 0.35867404 32.442627 20.550509
    Unten links KachelX 19336 KachelY + 1 14473 0.56603891 0.35849449 32.431641 20.540221
    Unten rechts KachelX + 1 19337 KachelY + 1 14473 0.56623066 0.35849449 32.442627 20.540221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35867404-0.35849449) × R
    0.000179550000000028 × 6371000     		dl = 1143.91305000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35867404-0.35849449) × R
    0.000179550000000028 × 6371000     		dr = 1143.91305000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56603891-0.56623066) × cos(0.35867404) × R
    0.000191750000000046 × 0.936363102350712 × 6371000     		do = 1143.89791808367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56603891-0.56623066) × cos(0.35849449) × R
    0.000191750000000046 × 0.936426115225406 × 6371000     		du = 1143.97489708465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35867404)-sin(0.35849449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936363102350712-0.936426115225406)×R²
    abs(0.56623066-0.56603891)×6.30128746941239e-05×R²
    0.000191750000000046×6.30128746941239e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.30128746941239e-05×40589641000000     		ar = 1308563.78852131m²