Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19334 / 15117
↖ ↑ ↗
← N 13.784737°
E 32.409668°		 ← 1 186.39 m → N 13.784737°
E 32.420654°		 →
↑
1 186.47 m
↓
↑
1 186.47 m
↓
N 13.774066°
E 32.409668°		 ← 1 186.45 m →
1 407 652 m²		 N 13.774066°
E 32.420654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590042114257812 y=0.461349487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590042114257812 × 215)
    floor (0.590042114257812 × 32768)
    floor (19334.5)     		tx = 19334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461349487304688 × 215)
    floor (0.461349487304688 × 32768)
    floor (15117.5)     		ty = 15117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19334 / 15117 ti = "15/19334/15117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19334/15117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19334 ÷ 215
    19334 ÷ 32768     		x = 0.59002685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15117 ÷ 215
    15117 ÷ 32768     		y = 0.461334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59002685546875 × 2 - 1) × π
    0.1800537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56565542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461334228515625 × 2 - 1) × π
    0.07733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.242944207274445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56565542} λ = 0.56565542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242944207274445))-π/2
    2×atan(1.27499748654915)-π/2
    2×0.905692683047071-π/2
    1.81138536609414-1.57079632675     		φ = 0.24058904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56565542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.409668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24058904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.784737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19334 KachelY 15117 0.56565542 0.24058904 32.409668 13.784737
    Oben rechts KachelX + 1 19335 KachelY 15117 0.56584716 0.24058904 32.420654 13.784737
    Unten links KachelX 19334 KachelY + 1 15118 0.56565542 0.24040281 32.409668 13.774066
    Unten rechts KachelX + 1 19335 KachelY + 1 15118 0.56584716 0.24040281 32.420654 13.774066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24058904-0.24040281) × R
    0.000186230000000009 × 6371000     		dl = 1186.47133000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24058904-0.24040281) × R
    0.000186230000000009 × 6371000     		dr = 1186.47133000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56565542-0.56584716) × cos(0.24058904) × R
    0.000191739999999996 × 0.971197789993404 × 6371000     		do = 1186.39146475797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56565542-0.56584716) × cos(0.24040281) × R
    0.000191739999999996 × 0.971242147057012 × 6371000     		du = 1186.4456502619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24058904)-sin(0.24040281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971197789993404-0.971242147057012)×R²
    abs(0.56584716-0.56565542)×4.4357063607614e-05×R²
    0.000191739999999996×4.4357063607614e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.4357063607614e-05×40589641000000     		ar = 1407651.60793392m²