Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19332 / 14468
↖ ↑ ↗
← N 20.591652°
E 32.387695°		 ← 1 143.59 m → N 20.591652°
E 32.398682°		 →
↑
1 143.66 m
↓
↑
1 143.66 m
↓
N 20.581367°
E 32.387695°		 ← 1 143.67 m →
1 307 920 m²		 N 20.581367°
E 32.398682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589981079101562 y=0.441543579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589981079101562 × 215)
    floor (0.589981079101562 × 32768)
    floor (19332.5)     		tx = 19332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441543579101562 × 215)
    floor (0.441543579101562 × 32768)
    floor (14468.5)     		ty = 14468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19332 / 14468 ti = "15/19332/14468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19332/14468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19332 ÷ 215
    19332 ÷ 32768     		x = 0.5899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14468 ÷ 215
    14468 ÷ 32768     		y = 0.4415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    0.179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56527192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4415283203125 × 2 - 1) × π
    0.116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.36738839868811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56527192} λ = 0.56527192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36738839868811))-π/2
    2×atan(1.44395864185832)-π/2
    2×0.965094227359405-π/2
    1.93018845471881-1.57079632675     		φ = 0.35939213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56527192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.387695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35939213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.591652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19332 KachelY 14468 0.56527192 0.35939213 32.387695 20.591652
    Oben rechts KachelX + 1 19333 KachelY 14468 0.56546367 0.35939213 32.398682 20.591652
    Unten links KachelX 19332 KachelY + 1 14469 0.56527192 0.35921262 32.387695 20.581367
    Unten rechts KachelX + 1 19333 KachelY + 1 14469 0.56546367 0.35921262 32.398682 20.581367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35939213-0.35921262) × R
    0.000179509999999994 × 6371000     		dl = 1143.65820999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35939213-0.35921262) × R
    0.000179509999999994 × 6371000     		dr = 1143.65820999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56527192-0.56546367) × cos(0.35939213) × R
    0.000191749999999935 × 0.936110787693217 × 6371000     		do = 1143.58968059406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56527192-0.56546367) × cos(0.35921262) × R
    0.000191749999999935 × 0.936173907222389 × 6371000     		du = 1143.66678988834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35939213)-sin(0.35921262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936110787693217-0.936173907222389)×R²
    abs(0.56546367-0.56527192)×6.31195291714848e-05×R²
    0.000191749999999935×6.31195291714848e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.31195291714848e-05×40589641000000     		ar = 1307919.82393354m²