Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1933 / 883
↖ ↑ ↗
← N 70.988349°
W 10.107422°		 ← 3 183.65 m → N 70.988349°
W 10.019531°		 →
↑
3 185.95 m
↓
↑
3 185.95 m
↓
N 70.959697°
W 10.107422°		 ← 3 188.27 m →
10 150 304 m²		 N 70.959697°
W 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4720458984375 y=0.2156982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4720458984375 × 212)
    floor (0.4720458984375 × 4096)
    floor (1933.5)     		tx = 1933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2156982421875 × 212)
    floor (0.2156982421875 × 4096)
    floor (883.5)     		ty = 883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1933 / 883 ti = "12/1933/883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1933/883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1933 ÷ 212
    1933 ÷ 4096     		x = 0.471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 883 ÷ 212
    883 ÷ 4096     		y = 0.215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215576171875 × 2 - 1) × π
    0.56884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78708761783569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17640779} λ = -0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78708761783569))-π/2
    2×atan(5.97203426838237)-π/2
    2×1.4048883756474-π/2
    2.8097767512948-1.57079632675     		φ = 1.23898042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23898042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.988349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1933 KachelY 883 -0.17640779 1.23898042 -10.107422 70.988349
    Oben rechts KachelX + 1 1934 KachelY 883 -0.17487381 1.23898042 -10.019531 70.988349
    Unten links KachelX 1933 KachelY + 1 884 -0.17640779 1.23848035 -10.107422 70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 1934 KachelY + 1 884 -0.17487381 1.23848035 -10.019531 70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23898042-1.23848035) × R
    0.000500070000000186 × 6371000     		dl = 3185.94597000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23898042-1.23848035) × R
    0.000500070000000186 × 6371000     		dr = 3185.94597000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17640779--0.17487381) × cos(1.23898042) × R
    0.00153398000000002 × 0.325760417901964 × 6371000     		do = 3183.65219245112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17640779--0.17487381) × cos(1.23848035) × R
    0.00153398000000002 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 3188.27238755776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23898042)-sin(1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325760417901964-0.32623316950853)×R²
    abs(-0.17487381--0.17640779)×0.000472751606565625×R²
    0.00153398000000002×0.000472751606565625×6371000²
    0.00153398000000002×0.000472751606565625×40589641000000     		ar = 10150303.9299436m²