Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1933 / 389
↖ ↑ ↗
← N 73.775780°
E159.785156°		 ← 5 461.09 m → N 73.775780°
E159.960937°		 →
↑
5 469.18 m
↓
↑
5 469.18 m
↓
N 73.726594°
E159.785156°		 ← 5 477.20 m →
29 911 746 m²		 N 73.726594°
E159.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944091796875 y=0.190185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944091796875 × 211)
    floor (0.944091796875 × 2048)
    floor (1933.5)     		tx = 1933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190185546875 × 211)
    floor (0.190185546875 × 2048)
    floor (389.5)     		ty = 389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1933 / 389 ti = "11/1933/389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1933/389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1933 ÷ 211
    1933 ÷ 2048     		x = 0.94384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 389 ÷ 211
    389 ÷ 2048     		y = 0.18994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94384765625 × 2 - 1) × π
    0.8876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78877707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18994140625 × 2 - 1) × π
    0.6201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.94815560055908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78877707} λ = 2.78877707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94815560055908))-π/2
    2×atan(7.01573582092603)-π/2
    2×1.42921329679801-π/2
    2.85842659359602-1.57079632675     		φ = 1.28763027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78877707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28763027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.775780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1933 KachelY 389 2.78877707 1.28763027 159.785156 73.775780
    Oben rechts KachelX + 1 1934 KachelY 389 2.79184503 1.28763027 159.960937 73.775780
    Unten links KachelX 1933 KachelY + 1 390 2.78877707 1.28677182 159.785156 73.726594
    Unten rechts KachelX + 1 1934 KachelY + 1 390 2.79184503 1.28677182 159.960937 73.726594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28763027-1.28677182) × R
    0.000858449999999955 × 6371000     		dl = 5469.18494999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28763027-1.28677182) × R
    0.000858449999999955 × 6371000     		dr = 5469.18494999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78877707-2.79184503) × cos(1.28763027) × R
    0.00306796000000009 × 0.279397014499769 × 6371000     		do = 5461.08654639677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78877707-2.79184503) × cos(1.28677182) × R
    0.00306796000000009 × 0.280221174249523 × 6371000     		du = 5477.19555074501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28763027)-sin(1.28677182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279397014499769-0.280221174249523)×R²
    abs(2.79184503-2.78877707)×0.000824159749753806×R²
    0.00306796000000009×0.000824159749753806×6371000²
    0.00306796000000009×0.000824159749753806×40589641000000     		ar = 29911745.7491954m²