Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1933 / 2429
↖ ↑ ↗
← S 31.728167°
W 10.107422°		 ← 8 312.44 m → S 31.728167°
W 10.019531°		 →
↑
8 309.12 m
↓
↑
8 309.12 m
↓
S 31.802893°
W 10.107422°		 ← 8 305.73 m →
69 041 209 m²		 S 31.802893°
W 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4720458984375 y=0.5931396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4720458984375 × 212)
    floor (0.4720458984375 × 4096)
    floor (1933.5)     		tx = 1933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5931396484375 × 212)
    floor (0.5931396484375 × 4096)
    floor (2429.5)     		ty = 2429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1933 / 2429 ti = "12/1933/2429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1933/2429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1933 ÷ 212
    1933 ÷ 4096     		x = 0.471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2429 ÷ 212
    2429 ÷ 4096     		y = 0.593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.18603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.584446680167725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17640779} λ = -0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584446680167725))-π/2
    2×atan(0.557414204832479)-π/2
    2×0.508517672243947-π/2
    1.01703534448789-1.57079632675     		φ = -0.55376098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55376098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.728167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1933 KachelY 2429 -0.17640779 -0.55376098 -10.107422 -31.728167
    Oben rechts KachelX + 1 1934 KachelY 2429 -0.17487381 -0.55376098 -10.019531 -31.728167
    Unten links KachelX 1933 KachelY + 1 2430 -0.17640779 -0.55506519 -10.107422 -31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 1934 KachelY + 1 2430 -0.17487381 -0.55506519 -10.019531 -31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55376098--0.55506519) × R
    0.00130421000000003 × 6371000     		dl = 8309.12191000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55376098--0.55506519) × R
    0.00130421000000003 × 6371000     		dr = 8309.12191000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17640779--0.17487381) × cos(-0.55376098) × R
    0.00153398000000002 × 0.850552681019615 × 6371000     		do = 8312.43993718782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17640779--0.17487381) × cos(-0.55506519) × R
    0.00153398000000002 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 8305.72986334325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55376098)-sin(-0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850552681019615-0.849866087030189)×R²
    abs(-0.17487381--0.17640779)×0.00068659398942561×R²
    0.00153398000000002×0.00068659398942561×6371000²
    0.00153398000000002×0.00068659398942561×40589641000000     		ar = 69041209.183231m²