Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1933 / 2410
↖ ↑ ↗
← S 30.297018°
W 10.107422°		 ← 8 438.21 m → S 30.297018°
W 10.019531°		 →
↑
8 434.95 m
↓
↑
8 434.95 m
↓
S 30.372875°
W 10.107422°		 ← 8 431.67 m →
71 148 320 m²		 S 30.372875°
W 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4720458984375 y=0.5885009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4720458984375 × 212)
    floor (0.4720458984375 × 4096)
    floor (1933.5)     		tx = 1933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5885009765625 × 212)
    floor (0.5885009765625 × 4096)
    floor (2410.5)     		ty = 2410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1933 / 2410 ti = "12/1933/2410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1933/2410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1933 ÷ 212
    1933 ÷ 4096     		x = 0.471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2410 ÷ 212
    2410 ÷ 4096     		y = 0.58837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58837890625 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.55530104519873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17640779} λ = -0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55530104519873))-π/2
    2×atan(0.573899465509439)-π/2
    2×0.521006805604077-π/2
    1.04201361120815-1.57079632675     		φ = -0.52878272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52878272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.297018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1933 KachelY 2410 -0.17640779 -0.52878272 -10.107422 -30.297018
    Oben rechts KachelX + 1 1934 KachelY 2410 -0.17487381 -0.52878272 -10.019531 -30.297018
    Unten links KachelX 1933 KachelY + 1 2411 -0.17640779 -0.53010668 -10.107422 -30.372875
    Unten rechts KachelX + 1 1934 KachelY + 1 2411 -0.17487381 -0.53010668 -10.019531 -30.372875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52878272--0.53010668) × R
    0.00132396000000001 × 6371000     		dl = 8434.94916000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52878272--0.53010668) × R
    0.00132396000000001 × 6371000     		dr = 8434.94916000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17640779--0.17487381) × cos(-0.52878272) × R
    0.00153398000000002 × 0.863421806747373 × 6371000     		do = 8438.20973022153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17640779--0.17487381) × cos(-0.53010668) × R
    0.00153398000000002 × 0.862753135308383 × 6371000     		du = 8431.67481322185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52878272)-sin(-0.53010668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863421806747373-0.862753135308383)×R²
    abs(-0.17487381--0.17640779)×0.000668671438990076×R²
    0.00153398000000002×0.000668671438990076×6371000²
    0.00153398000000002×0.000668671438990076×40589641000000     		ar = 71148319.6223254m²