Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19329 / 14723
↖ ↑ ↗
← N 17.947380°
E 32.354736°		 ← 1 162.19 m → N 17.947380°
E 32.365723°		 →
↑
1 162.20 m
↓
↑
1 162.20 m
↓
N 17.936928°
E 32.354736°		 ← 1 162.26 m →
1 350 739 m²		 N 17.936928°
E 32.365723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589889526367188 y=0.449325561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589889526367188 × 215)
    floor (0.589889526367188 × 32768)
    floor (19329.5)     		tx = 19329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449325561523438 × 215)
    floor (0.449325561523438 × 32768)
    floor (14723.5)     		ty = 14723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19329 / 14723 ti = "15/19329/14723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19329/14723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19329 ÷ 215
    19329 ÷ 32768     		x = 0.589874267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14723 ÷ 215
    14723 ÷ 32768     		y = 0.449310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589874267578125 × 2 - 1) × π
    0.17974853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56469668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449310302734375 × 2 - 1) × π
    0.10137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.318492761075653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56469668} λ = 0.56469668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318492761075653))-π/2
    2×atan(1.37505366723835)-π/2
    2×0.942018605869054-π/2
    1.88403721173811-1.57079632675     		φ = 0.31324088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56469668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.354736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31324088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.947380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19329 KachelY 14723 0.56469668 0.31324088 32.354736 17.947380
    Oben rechts KachelX + 1 19330 KachelY 14723 0.56488843 0.31324088 32.365723 17.947380
    Unten links KachelX 19329 KachelY + 1 14724 0.56469668 0.31305846 32.354736 17.936928
    Unten rechts KachelX + 1 19330 KachelY + 1 14724 0.56488843 0.31305846 32.365723 17.936928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31324088-0.31305846) × R
    0.000182420000000016 × 6371000     		dl = 1162.1978200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31324088-0.31305846) × R
    0.000182420000000016 × 6371000     		dr = 1162.1978200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56469668-0.56488843) × cos(0.31324088) × R
    0.000191750000000046 × 0.951339911863006 × 6371000     		do = 1162.19417642367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56469668-0.56488843) × cos(0.31305846) × R
    0.000191750000000046 × 0.951396107557898 × 6371000     		du = 1162.26282729023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31324088)-sin(0.31305846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951339911863006-0.951396107557898)×R²
    abs(0.56488843-0.56469668)×5.61956948916809e-05×R²
    0.000191750000000046×5.61956948916809e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.61956948916809e-05×40589641000000     		ar = 1350739.43494578m²