Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19328 / 14721
↖ ↑ ↗
← N 17.968283°
E 32.343750°		 ← 1 162.06 m → N 17.968283°
E 32.354736°		 →
↑
1 162.07 m
↓
↑
1 162.07 m
↓
N 17.957832°
E 32.343750°		 ← 1 162.13 m →
1 350 432 m²		 N 17.957832°
E 32.354736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589859008789062 y=0.449264526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589859008789062 × 215)
    floor (0.589859008789062 × 32768)
    floor (19328.5)     		tx = 19328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449264526367188 × 215)
    floor (0.449264526367188 × 32768)
    floor (14721.5)     		ty = 14721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19328 / 14721 ti = "15/19328/14721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19328/14721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19328 ÷ 215
    19328 ÷ 32768     		x = 0.58984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14721 ÷ 215
    14721 ÷ 32768     		y = 0.449249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58984375 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449249267578125 × 2 - 1) × π
    0.10150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.318876256272614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56450493} λ = 0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318876256272614))-π/2
    2×atan(1.37558109484181)-π/2
    2×0.942201012230322-π/2
    1.88440202446064-1.57079632675     		φ = 0.31360570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31360570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.968283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19328 KachelY 14721 0.56450493 0.31360570 32.343750 17.968283
    Oben rechts KachelX + 1 19329 KachelY 14721 0.56469668 0.31360570 32.354736 17.968283
    Unten links KachelX 19328 KachelY + 1 14722 0.56450493 0.31342330 32.343750 17.957832
    Unten rechts KachelX + 1 19329 KachelY + 1 14722 0.56469668 0.31342330 32.354736 17.957832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31360570-0.31342330) × R
    0.000182399999999971 × 6371000     		dl = 1162.07039999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31360570-0.31342330) × R
    0.000182399999999971 × 6371000     		dr = 1162.07039999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56450493-0.56469668) × cos(0.31360570) × R
    0.000191749999999935 × 0.951227431671528 × 6371000     		do = 1162.05676620624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56450493-0.56469668) × cos(0.31342330) × R
    0.000191749999999935 × 0.951283684510322 × 6371000     		du = 1162.12548688203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31360570)-sin(0.31342330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951227431671528-0.951283684510322)×R²
    abs(0.56469668-0.56450493)×5.62528387945127e-05×R²
    0.000191749999999935×5.62528387945127e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.62528387945127e-05×40589641000000     		ar = 1350431.70400308m²