Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19326 / 14746
↖ ↑ ↗
← N 17.706828°
E 32.321777°		 ← 1 163.76 m → N 17.706828°
E 32.332764°		 →
↑
1 163.79 m
↓
↑
1 163.79 m
↓
N 17.696362°
E 32.321777°		 ← 1 163.83 m →
1 354 418 m²		 N 17.696362°
E 32.332764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589797973632812 y=0.450027465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589797973632812 × 215)
    floor (0.589797973632812 × 32768)
    floor (19326.5)     		tx = 19326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450027465820312 × 215)
    floor (0.450027465820312 × 32768)
    floor (14746.5)     		ty = 14746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19326 / 14746 ti = "15/19326/14746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19326/14746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19326 ÷ 215
    19326 ÷ 32768     		x = 0.58978271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14746 ÷ 215
    14746 ÷ 32768     		y = 0.45001220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58978271484375 × 2 - 1) × π
    0.1795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56412143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45001220703125 × 2 - 1) × π
    0.0999755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.314082566310608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56412143} λ = 0.56412143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314082566310608))-π/2
    2×atan(1.36900276538867)-π/2
    2×0.939919388817608-π/2
    1.87983877763522-1.57079632675     		φ = 0.30904245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56412143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30904245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.706828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19326 KachelY 14746 0.56412143 0.30904245 32.321777 17.706828
    Oben rechts KachelX + 1 19327 KachelY 14746 0.56431318 0.30904245 32.332764 17.706828
    Unten links KachelX 19326 KachelY + 1 14747 0.56412143 0.30885978 32.321777 17.696362
    Unten rechts KachelX + 1 19327 KachelY + 1 14747 0.56431318 0.30885978 32.332764 17.696362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30904245-0.30885978) × R
    0.000182670000000051 × 6371000     		dl = 1163.79057000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30904245-0.30885978) × R
    0.000182670000000051 × 6371000     		dr = 1163.79057000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56412143-0.56431318) × cos(0.30904245) × R
    0.000191749999999935 × 0.952625242140155 × 6371000     		do = 1163.76438633877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56412143-0.56431318) × cos(0.30885978) × R
    0.000191749999999935 × 0.952680784703634 × 6371000     		du = 1163.83223931436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30904245)-sin(0.30885978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952625242140155-0.952680784703634)×R²
    abs(0.56431318-0.56412143)×5.55425634787277e-05×R²
    0.000191749999999935×5.55425634787277e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.55425634787277e-05×40589641000000     		ar = 1354417.50561596m²