Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19320 / 14743
↖ ↑ ↗
← N 17.738223°
E 32.255859°		 ← 1 163.56 m → N 17.738223°
E 32.266846°		 →
↑
1 163.54 m
↓
↑
1 163.54 m
↓
N 17.727759°
E 32.255859°		 ← 1 163.63 m →
1 353 884 m²		 N 17.727759°
E 32.266846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589614868164062 y=0.449935913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589614868164062 × 215)
    floor (0.589614868164062 × 32768)
    floor (19320.5)     		tx = 19320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449935913085938 × 215)
    floor (0.449935913085938 × 32768)
    floor (14743.5)     		ty = 14743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19320 / 14743 ti = "15/19320/14743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19320/14743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19320 ÷ 215
    19320 ÷ 32768     		x = 0.589599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14743 ÷ 215
    14743 ÷ 32768     		y = 0.449920654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589599609375 × 2 - 1) × π
    0.17919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56297095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449920654296875 × 2 - 1) × π
    0.10015869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314657809106049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56297095} λ = 0.56297095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314657809106049))-π/2
    2×atan(1.36979050091427)-π/2
    2×0.940193360240008-π/2
    1.88038672048002-1.57079632675     		φ = 0.30959039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56297095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.255859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30959039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.738223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19320 KachelY 14743 0.56297095 0.30959039 32.255859 17.738223
    Oben rechts KachelX + 1 19321 KachelY 14743 0.56316270 0.30959039 32.266846 17.738223
    Unten links KachelX 19320 KachelY + 1 14744 0.56297095 0.30940776 32.255859 17.727759
    Unten rechts KachelX + 1 19321 KachelY + 1 14744 0.56316270 0.30940776 32.266846 17.727759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30959039-0.30940776) × R
    0.000182630000000017 × 6371000     		dl = 1163.53573000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30959039-0.30940776) × R
    0.000182630000000017 × 6371000     		dr = 1163.53573000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56297095-0.56316270) × cos(0.30959039) × R
    0.000191750000000046 × 0.952458445058863 × 6371000     		do = 1163.56062047816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56297095-0.56316270) × cos(0.30940776) × R
    0.000191750000000046 × 0.952514070787353 × 6371000     		du = 1163.62857505139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30959039)-sin(0.30940776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952458445058863-0.952514070787353)×R²
    abs(0.56316270-0.56297095)×5.56257284898276e-05×R²
    0.000191750000000046×5.56257284898276e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.56257284898276e-05×40589641000000     		ar = 1353883.89349758m²