Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1932 / 1077
↖ ↑ ↗
← N 64.586185°
W 10.195312°		 ← 4 194.11 m → N 64.586185°
W 10.107422°		 →
↑
4 197.02 m
↓
↑
4 197.02 m
↓
N 64.548440°
W 10.195312°		 ← 4 199.92 m →
17 614 963 m²		 N 64.548440°
W 10.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4718017578125 y=0.2630615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4718017578125 × 212)
    floor (0.4718017578125 × 4096)
    floor (1932.5)     		tx = 1932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2630615234375 × 212)
    floor (0.2630615234375 × 4096)
    floor (1077.5)     		ty = 1077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1932 / 1077 ti = "12/1932/1077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1932/1077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1932 ÷ 212
    1932 ÷ 4096     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1077 ÷ 212
    1077 ÷ 4096     		y = 0.262939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262939453125 × 2 - 1) × π
    0.47412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.48949534499438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48949534499438))-π/2
    2×atan(4.43485688145694)-π/2
    2×1.34901895144874-π/2
    2.69803790289748-1.57079632675     		φ = 1.12724158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12724158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.586185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1932 KachelY 1077 -0.17794177 1.12724158 -10.195312 64.586185
    Oben rechts KachelX + 1 1933 KachelY 1077 -0.17640779 1.12724158 -10.107422 64.586185
    Unten links KachelX 1932 KachelY + 1 1078 -0.17794177 1.12658281 -10.195312 64.548440
    Unten rechts KachelX + 1 1933 KachelY + 1 1078 -0.17640779 1.12658281 -10.107422 64.548440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12724158-1.12658281) × R
    0.000658770000000031 × 6371000     		dl = 4197.0236700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12724158-1.12658281) × R
    0.000658770000000031 × 6371000     		dr = 4197.0236700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17640779) × cos(1.12724158) × R
    0.00153397999999999 × 0.429152930237076 × 6371000     		do = 4194.10582797459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17640779) × cos(1.12658281) × R
    0.00153397999999999 × 0.429747859113903 × 6371000     		du = 4199.92005990387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12724158)-sin(1.12658281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429152930237076-0.429747859113903)×R²
    abs(-0.17640779--0.17794177)×0.000594928876826994×R²
    0.00153397999999999×0.000594928876826994×6371000²
    0.00153397999999999×0.000594928876826994×40589641000000     		ar = 17614963.3060548m²