Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19318 / 15122
↖ ↑ ↗
← N 13.731381°
E 32.233886°		 ← 1 186.72 m → N 13.731381°
E 32.244873°		 →
↑
1 186.73 m
↓
↑
1 186.73 m
↓
N 13.720709°
E 32.233886°		 ← 1 186.78 m →
1 408 348 m²		 N 13.720709°
E 32.244873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589553833007812 y=0.461502075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589553833007812 × 215)
    floor (0.589553833007812 × 32768)
    floor (19318.5)     		tx = 19318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461502075195312 × 215)
    floor (0.461502075195312 × 32768)
    floor (15122.5)     		ty = 15122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19318 / 15122 ti = "15/19318/15122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19318/15122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19318 ÷ 215
    19318 ÷ 32768     		x = 0.58953857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15122 ÷ 215
    15122 ÷ 32768     		y = 0.46148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58953857421875 × 2 - 1) × π
    0.1790771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56258745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    0.0770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241985469282043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56258745} λ = 0.56258745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241985469282043))-π/2
    2×atan(1.27377568380652)-π/2
    2×0.905227067823319-π/2
    1.81045413564664-1.57079632675     		φ = 0.23965781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56258745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.233886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23965781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.731381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19318 KachelY 15122 0.56258745 0.23965781 32.233886 13.731381
    Oben rechts KachelX + 1 19319 KachelY 15122 0.56277920 0.23965781 32.244873 13.731381
    Unten links KachelX 19318 KachelY + 1 15123 0.56258745 0.23947154 32.233886 13.720709
    Unten rechts KachelX + 1 19319 KachelY + 1 15123 0.56277920 0.23947154 32.244873 13.720709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23965781-0.23947154) × R
    0.000186269999999988 × 6371000     		dl = 1186.72616999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23965781-0.23947154) × R
    0.000186269999999988 × 6371000     		dr = 1186.72616999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56258745-0.56277920) × cos(0.23965781) × R
    0.000191750000000046 × 0.971419257443257 × 6371000     		do = 1186.72389309882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56258745-0.56277920) × cos(0.23947154) × R
    0.000191750000000046 × 0.971463455543383 × 6371000     		du = 1186.77788723271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23965781)-sin(0.23947154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971419257443257-0.971463455543383)×R²
    abs(0.56277920-0.56258745)×4.41981001260139e-05×R²
    0.000191750000000046×4.41981001260139e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.41981001260139e-05×40589641000000     		ar = 1408348.3427025m²