Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19317 / 14758
↖ ↑ ↗
← N 17.581194°
E 32.222901°		 ← 1 164.52 m → N 17.581194°
E 32.233886°		 →
↑
1 164.56 m
↓
↑
1 164.56 m
↓
N 17.570721°
E 32.222901°		 ← 1 164.58 m →
1 356 182 m²		 N 17.570721°
E 32.233886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589523315429688 y=0.450393676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589523315429688 × 215)
    floor (0.589523315429688 × 32768)
    floor (19317.5)     		tx = 19317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450393676757812 × 215)
    floor (0.450393676757812 × 32768)
    floor (14758.5)     		ty = 14758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19317 / 14758 ti = "15/19317/14758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19317/14758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19317 ÷ 215
    19317 ÷ 32768     		x = 0.589508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14758 ÷ 215
    14758 ÷ 32768     		y = 0.45037841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589508056640625 × 2 - 1) × π
    0.17901611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56239571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45037841796875 × 2 - 1) × π
    0.0992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.311781595128845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56239571} λ = 0.56239571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311781595128845))-π/2
    2×atan(1.36585635077066)-π/2
    2×0.938823024490445-π/2
    1.87764604898089-1.57079632675     		φ = 0.30684972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56239571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.222901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30684972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.581194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19317 KachelY 14758 0.56239571 0.30684972 32.222901 17.581194
    Oben rechts KachelX + 1 19318 KachelY 14758 0.56258745 0.30684972 32.233886 17.581194
    Unten links KachelX 19317 KachelY + 1 14759 0.56239571 0.30666693 32.222901 17.570721
    Unten rechts KachelX + 1 19318 KachelY + 1 14759 0.56258745 0.30666693 32.233886 17.570721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30684972-0.30666693) × R
    0.000182789999999988 × 6371000     		dl = 1164.55508999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30684972-0.30666693) × R
    0.000182789999999988 × 6371000     		dr = 1164.55508999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56239571-0.56258745) × cos(0.30684972) × R
    0.000191739999999996 × 0.953289862816349 × 6371000     		do = 1164.51557894638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56239571-0.56258745) × cos(0.30666693) × R
    0.000191739999999996 × 0.9533450598912 × 6371000     		du = 1164.5830063429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30684972)-sin(0.30666693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953289862816349-0.9533450598912)×R²
    abs(0.56258745-0.56239571)×5.51970748511321e-05×R²
    0.000191739999999996×5.51970748511321e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.51970748511321e-05×40589641000000     		ar = 1356181.81008131m²