Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19313 / 14377
↖ ↑ ↗
← N 21.524627°
E 32.178955°		 ← 1 136.38 m → N 21.524627°
E 32.189941°		 →
↑
1 136.52 m
↓
↑
1 136.52 m
↓
N 21.514406°
E 32.178955°		 ← 1 136.46 m →
1 291 570 m²		 N 21.514406°
E 32.189941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589401245117188 y=0.438766479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589401245117188 × 215)
    floor (0.589401245117188 × 32768)
    floor (19313.5)     		tx = 19313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438766479492188 × 215)
    floor (0.438766479492188 × 32768)
    floor (14377.5)     		ty = 14377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19313 / 14377 ti = "15/19313/14377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19313/14377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19313 ÷ 215
    19313 ÷ 32768     		x = 0.589385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14377 ÷ 215
    14377 ÷ 32768     		y = 0.438751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589385986328125 × 2 - 1) × π
    0.17877197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56162872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438751220703125 × 2 - 1) × π
    0.12249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.384837430149811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56162872} λ = 0.56162872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.384837430149811))-π/2
    2×atan(1.46937542588021)-π/2
    2×0.973235971023788-π/2
    1.94647194204758-1.57079632675     		φ = 0.37567562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56162872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.178955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37567562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.524627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19313 KachelY 14377 0.56162872 0.37567562 32.178955 21.524627
    Oben rechts KachelX + 1 19314 KachelY 14377 0.56182046 0.37567562 32.189941 21.524627
    Unten links KachelX 19313 KachelY + 1 14378 0.56162872 0.37549723 32.178955 21.514406
    Unten rechts KachelX + 1 19314 KachelY + 1 14378 0.56182046 0.37549723 32.189941 21.514406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37567562-0.37549723) × R
    0.000178389999999973 × 6371000     		dl = 1136.52268999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37567562-0.37549723) × R
    0.000178389999999973 × 6371000     		dr = 1136.52268999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56162872-0.56182046) × cos(0.37567562) × R
    0.000191739999999996 × 0.930259948514183 × 6371000     		do = 1136.38279894656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56162872-0.56182046) × cos(0.37549723) × R
    0.000191739999999996 × 0.930325385201914 × 6371000     		du = 1136.46273480371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37567562)-sin(0.37549723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930259948514183-0.930325385201914)×R²
    abs(0.56182046-0.56162872)×6.54366877307355e-05×R²
    0.000191739999999996×6.54366877307355e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.54366877307355e-05×40589641000000     		ar = 1291570.26341124m²