Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1931 / 2170
↖ ↑ ↗
← N 64.282760°
W 95.141601°		 ← 2 120.40 m → N 64.282760°
W 95.097656°		 →
↑
2 121.16 m
↓
↑
2 121.16 m
↓
N 64.263684°
W 95.141601°		 ← 2 121.86 m →
4 499 257 m²		 N 64.263684°
W 95.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23577880859375 y=0.26495361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23577880859375 × 213)
    floor (0.23577880859375 × 8192)
    floor (1931.5)     		tx = 1931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26495361328125 × 213)
    floor (0.26495361328125 × 8192)
    floor (2170.5)     		ty = 2170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1931 / 2170 ti = "13/1931/2170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1931/2170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1931 ÷ 213
    1931 ÷ 8192     		x = 0.2357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2170 ÷ 213
    2170 ÷ 8192     		y = 0.264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2357177734375 × 2 - 1) × π
    -0.528564453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.66053420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264892578125 × 2 - 1) × π
    0.47021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.47722349869165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.66053420} λ = -1.66053420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47722349869165))-π/2
    2×atan(4.3807655783482)-π/2
    2×1.34637106640601-π/2
    2.69274213281201-1.57079632675     		φ = 1.12194581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.66053420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -95.141601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12194581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.282760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1931 KachelY 2170 -1.66053420 1.12194581 -95.141601 64.282760
    Oben rechts KachelX + 1 1932 KachelY 2170 -1.65976721 1.12194581 -95.097656 64.282760
    Unten links KachelX 1931 KachelY + 1 2171 -1.66053420 1.12161287 -95.141601 64.263684
    Unten rechts KachelX + 1 1932 KachelY + 1 2171 -1.65976721 1.12161287 -95.097656 64.263684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12194581-1.12161287) × R
    0.000332939999999837 × 6371000     		dl = 2121.16073999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12194581-1.12161287) × R
    0.000332939999999837 × 6371000     		dr = 2121.16073999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.66053420--1.65976721) × cos(1.12194581) × R
    0.000766990000000023 × 0.433930198155449 × 6371000     		do = 2120.39700161504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.66053420--1.65976721) × cos(1.12161287) × R
    0.000766990000000023 × 0.434230135224891 × 6371000     		du = 2121.86264209229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12194581)-sin(1.12161287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433930198155449-0.434230135224891)×R²
    abs(-1.65976721--1.66053420)×0.000299937069441814×R²
    0.000766990000000023×0.000299937069441814×6371000²
    0.000766990000000023×0.000299937069441814×40589641000000     		ar = 4499257.34411586m²