Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19308 / 14402
↖ ↑ ↗
← N 21.268900°
E 32.124024°		 ← 1 138.43 m → N 21.268900°
E 32.135010°		 →
↑
1 138.50 m
↓
↑
1 138.50 m
↓
N 21.258661°
E 32.124024°		 ← 1 138.51 m →
1 296 146 m²		 N 21.258661°
E 32.135010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589248657226562 y=0.439529418945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589248657226562 × 215)
    floor (0.589248657226562 × 32768)
    floor (19308.5)     		tx = 19308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439529418945312 × 215)
    floor (0.439529418945312 × 32768)
    floor (14402.5)     		ty = 14402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19308 / 14402 ti = "15/19308/14402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19308/14402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19308 ÷ 215
    19308 ÷ 32768     		x = 0.5892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14402 ÷ 215
    14402 ÷ 32768     		y = 0.43951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5892333984375 × 2 - 1) × π
    0.178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56066998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43951416015625 × 2 - 1) × π
    0.1209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.380043740187805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56066998} λ = 0.56066998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.380043740187805))-π/2
    2×atan(1.46234855143564)-π/2
    2×0.971004327587355-π/2
    1.94200865517471-1.57079632675     		φ = 0.37121233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56066998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.124024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37121233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.268900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19308 KachelY 14402 0.56066998 0.37121233 32.124024 21.268900
    Oben rechts KachelX + 1 19309 KachelY 14402 0.56086173 0.37121233 32.135010 21.268900
    Unten links KachelX 19308 KachelY + 1 14403 0.56066998 0.37103363 32.124024 21.258661
    Unten rechts KachelX + 1 19309 KachelY + 1 14403 0.56086173 0.37103363 32.135010 21.258661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37121233-0.37103363) × R
    0.000178699999999976 × 6371000     		dl = 1138.49769999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37121233-0.37103363) × R
    0.000178699999999976 × 6371000     		dr = 1138.49769999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56066998-0.56086173) × cos(0.37121233) × R
    0.000191749999999935 × 0.931888263335598 × 6371000     		do = 1138.43127910472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56066998-0.56086173) × cos(0.37103363) × R
    0.000191749999999935 × 0.931953071068632 × 6371000     		du = 1138.51045077509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37121233)-sin(0.37103363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931888263335598-0.931953071068632)×R²
    abs(0.56086173-0.56066998)×6.48077330333008e-05×R²
    0.000191749999999935×6.48077330333008e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.48077330333008e-05×40589641000000     		ar = 1296146.46469988m²