Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19301 / 14420
↖ ↑ ↗
← N 21.084500°
E 32.047119°		 ← 1 139.85 m → N 21.084500°
E 32.058105°		 →
↑
1 139.90 m
↓
↑
1 139.90 m
↓
N 21.074249°
E 32.047119°		 ← 1 139.93 m →
1 299 361 m²		 N 21.074249°
E 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589035034179688 y=0.440078735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589035034179688 × 215)
    floor (0.589035034179688 × 32768)
    floor (19301.5)     		tx = 19301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.440078735351562 × 215)
    floor (0.440078735351562 × 32768)
    floor (14420.5)     		ty = 14420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19301 / 14420 ti = "15/19301/14420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19301/14420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19301 ÷ 215
    19301 ÷ 32768     		x = 0.589019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14420 ÷ 215
    14420 ÷ 32768     		y = 0.4400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.589019775390625 × 2 - 1) × π
    0.17803955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55932774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    0.119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.376592283415161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55932774} λ = 0.55932774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.376592283415161))-π/2
    2×atan(1.45731001876449)-π/2
    2×0.969395137189625-π/2
    1.93879027437925-1.57079632675     		φ = 0.36799395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55932774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.047119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36799395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.084500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19301 KachelY 14420 0.55932774 0.36799395 32.047119 21.084500
    Oben rechts KachelX + 1 19302 KachelY 14420 0.55951949 0.36799395 32.058105 21.084500
    Unten links KachelX 19301 KachelY + 1 14421 0.55932774 0.36781503 32.047119 21.074249
    Unten rechts KachelX + 1 19302 KachelY + 1 14421 0.55951949 0.36781503 32.058105 21.074249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36799395-0.36781503) × R
    0.000178920000000027 × 6371000     		dl = 1139.89932000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36799395-0.36781503) × R
    0.000178920000000027 × 6371000     		dr = 1139.89932000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55932774-0.55951949) × cos(0.36799395) × R
    0.000191750000000046 × 0.933050887804499 × 6371000     		do = 1139.8515867896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55932774-0.55951949) × cos(0.36781503) × R
    0.000191750000000046 × 0.93311523833947 × 6371000     		du = 1139.93019992887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36799395)-sin(0.36781503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.933050887804499-0.93311523833947)×R²
    abs(0.55951949-0.55932774)×6.43505349703366e-05×R²
    0.000191750000000046×6.43505349703366e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.43505349703366e-05×40589641000000     		ar = 1299360.85768072m²