Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19300 / 14755
↖ ↑ ↗
← N 17.612611°
E 32.036133°		 ← 1 164.31 m → N 17.612611°
E 32.047119°		 →
↑
1 164.43 m
↓
↑
1 164.43 m
↓
N 17.602139°
E 32.036133°		 ← 1 164.38 m →
1 355 798 m²		 N 17.602139°
E 32.047119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589004516601562 y=0.450302124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589004516601562 × 215)
    floor (0.589004516601562 × 32768)
    floor (19300.5)     		tx = 19300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450302124023438 × 215)
    floor (0.450302124023438 × 32768)
    floor (14755.5)     		ty = 14755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19300 / 14755 ti = "15/19300/14755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19300/14755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19300 ÷ 215
    19300 ÷ 32768     		x = 0.5889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14755 ÷ 215
    14755 ÷ 32768     		y = 0.450286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.450286865234375 × 2 - 1) × π
    0.09942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.312356837924286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55913600} λ = 0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.312356837924286))-π/2
    2×atan(1.36664227582324)-π/2
    2×0.939097187219875-π/2
    1.87819437443975-1.57079632675     		φ = 0.30739805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30739805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.612611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19300 KachelY 14755 0.55913600 0.30739805 32.036133 17.612611
    Oben rechts KachelX + 1 19301 KachelY 14755 0.55932774 0.30739805 32.047119 17.612611
    Unten links KachelX 19300 KachelY + 1 14756 0.55913600 0.30721528 32.036133 17.602139
    Unten rechts KachelX + 1 19301 KachelY + 1 14756 0.55932774 0.30721528 32.047119 17.602139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30739805-0.30721528) × R
    0.000182769999999999 × 6371000     		dl = 1164.42766999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30739805-0.30721528) × R
    0.000182769999999999 × 6371000     		dr = 1164.42766999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55913600-0.55932774) × cos(0.30739805) × R
    0.000191739999999996 × 0.953124092593388 × 6371000     		do = 1164.31307809675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55913600-0.55932774) × cos(0.30721528) × R
    0.000191739999999996 × 0.953179379162112 × 6371000     		du = 1164.3806148168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30739805)-sin(0.30721528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953124092593388-0.953179379162112)×R²
    abs(0.55932774-0.55913600)×5.52865687246662e-05×R²
    0.000191739999999996×5.52865687246662e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.52865687246662e-05×40589641000000     		ar = 1355797.68926562m²