Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1930 / 410
↖ ↑ ↗
← N 72.711903°
E159.257813°		 ← 5 808.60 m → N 72.711903°
E159.433594°		 →
↑
5 817.11 m
↓
↑
5 817.11 m
↓
N 72.659588°
E159.257813°		 ← 5 825.64 m →
33 838 821 m²		 N 72.659588°
E159.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.942626953125 y=0.200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.942626953125 × 211)
    floor (0.942626953125 × 2048)
    floor (1930.5)     		tx = 1930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200439453125 × 211)
    floor (0.200439453125 × 2048)
    floor (410.5)     		ty = 410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1930 / 410 ti = "11/1930/410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1930/410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1930 ÷ 211
    1930 ÷ 2048     		x = 0.9423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 410 ÷ 211
    410 ÷ 2048     		y = 0.2001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9423828125 × 2 - 1) × π
    0.884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77957319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2001953125 × 2 - 1) × π
    0.599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88372840746973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77957319} λ = 2.77957319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88372840746973))-π/2
    2×atan(6.57798460554344)-π/2
    2×1.41992922070262-π/2
    2.83985844140523-1.57079632675     		φ = 1.26906211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77957319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26906211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.711903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1930 KachelY 410 2.77957319 1.26906211 159.257813 72.711903
    Oben rechts KachelX + 1 1931 KachelY 410 2.78264115 1.26906211 159.433594 72.711903
    Unten links KachelX 1930 KachelY + 1 411 2.77957319 1.26814905 159.257813 72.659588
    Unten rechts KachelX + 1 1931 KachelY + 1 411 2.78264115 1.26814905 159.433594 72.659588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26906211-1.26814905) × R
    0.000913059999999799 × 6371000     		dl = 5817.10525999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26906211-1.26814905) × R
    0.000913059999999799 × 6371000     		dr = 5817.10525999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77957319-2.78264115) × cos(1.26906211) × R
    0.00306796000000009 × 0.29717652202554 × 6371000     		do = 5808.60432329353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77957319-2.78264115) × cos(1.26814905) × R
    0.00306796000000009 × 0.298048208313173 × 6371000     		du = 5825.64228007555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26906211)-sin(1.26814905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29717652202554-0.298048208313173)×R²
    abs(2.78264115-2.77957319)×0.0008716862876334×R²
    0.00306796000000009×0.0008716862876334×6371000²
    0.00306796000000009×0.0008716862876334×40589641000000     		ar = 33838820.9071843m²