Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19298 / 14730
↖ ↑ ↗
← N 17.874203°
E 32.014160°		 ← 1 162.67 m → N 17.874203°
E 32.025147°		 →
↑
1 162.71 m
↓
↑
1 162.71 m
↓
N 17.863747°
E 32.014160°		 ← 1 162.74 m →
1 351 890 m²		 N 17.863747°
E 32.025147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.588943481445312 y=0.449539184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.588943481445312 × 215)
    floor (0.588943481445312 × 32768)
    floor (19298.5)     		tx = 19298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449539184570312 × 215)
    floor (0.449539184570312 × 32768)
    floor (14730.5)     		ty = 14730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19298 / 14730 ti = "15/19298/14730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19298/14730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19298 ÷ 215
    19298 ÷ 32768     		x = 0.58892822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14730 ÷ 215
    14730 ÷ 32768     		y = 0.44952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58892822265625 × 2 - 1) × π
    0.1778564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55875250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    0.1009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.317150527886292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55875250} λ = 0.55875250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317150527886292))-π/2
    2×atan(1.37320926265645)-π/2
    2×0.941380013989794-π/2
    1.88276002797959-1.57079632675     		φ = 0.31196370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55875250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.014160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31196370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.874203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19298 KachelY 14730 0.55875250 0.31196370 32.014160 17.874203
    Oben rechts KachelX + 1 19299 KachelY 14730 0.55894425 0.31196370 32.025147 17.874203
    Unten links KachelX 19298 KachelY + 1 14731 0.55875250 0.31178120 32.014160 17.863747
    Unten rechts KachelX + 1 19299 KachelY + 1 14731 0.55894425 0.31178120 32.025147 17.863747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31196370-0.31178120) × R
    0.00018250000000003 × 6371000     		dl = 1162.70750000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31196370-0.31178120) × R
    0.00018250000000003 × 6371000     		dr = 1162.70750000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55875250-0.55894425) × cos(0.31196370) × R
    0.000191750000000046 × 0.951732690471754 × 6371000     		do = 1162.67401018867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55875250-0.55894425) × cos(0.31178120) × R
    0.000191750000000046 × 0.951788689008491 × 6371000     		du = 1162.7424201991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31196370)-sin(0.31178120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951732690471754-0.951788689008491)×R²
    abs(0.55894425-0.55875250)×5.59985367372118e-05×R²
    0.000191750000000046×5.59985367372118e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.59985367372118e-05×40589641000000     		ar = 1351889.56587011m²