Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1929 / 2697
↖ ↑ ↗
← N 76.137695°
W137.614746°		 ← 585.38 m → N 76.137695°
W137.592773°		 →
↑
585.49 m
↓
↑
585.49 m
↓
N 76.132429°
W137.614746°		 ← 585.60 m →
342 803 m²		 N 76.132429°
W137.592773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.117767333984375 y=0.164642333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.117767333984375 × 214)
    floor (0.117767333984375 × 16384)
    floor (1929.5)     		tx = 1929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164642333984375 × 214)
    floor (0.164642333984375 × 16384)
    floor (2697.5)     		ty = 2697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1929 / 2697 ti = "14/1929/2697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1929/2697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1929 ÷ 214
    1929 ÷ 16384     		x = 0.11773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2697 ÷ 214
    2697 ÷ 16384     		y = 0.16461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.7645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.40183042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16461181640625 × 2 - 1) × π
    0.6707763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10730610729767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.40183042} λ = -2.40183042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10730610729767))-π/2
    2×atan(8.22605130974812)-π/2
    2×1.44982489496847-π/2
    2.89964978993694-1.57079632675     		φ = 1.32885346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.40183042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -137.614746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32885346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.137695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1929 KachelY 2697 -2.40183042 1.32885346 -137.614746 76.137695
    Oben rechts KachelX + 1 1930 KachelY 2697 -2.40144692 1.32885346 -137.592773 76.137695
    Unten links KachelX 1929 KachelY + 1 2698 -2.40183042 1.32876156 -137.614746 76.132429
    Unten rechts KachelX + 1 1930 KachelY + 1 2698 -2.40144692 1.32876156 -137.592773 76.132429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32885346-1.32876156) × R
    9.18999999999226e-05 × 6371000     		dl = 585.494899999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32885346-1.32876156) × R
    9.18999999999226e-05 × 6371000     		dr = 585.494899999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.40183042--2.40144692) × cos(1.32885346) × R
    0.00038349999999987 × 0.23958935690619 × 6371000     		do = 585.383524557522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.40183042--2.40144692) × cos(1.32876156) × R
    0.00038349999999987 × 0.239678579244088 × 6371000     		du = 585.601519577428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32885346)-sin(1.32876156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23958935690619-0.239678579244088)×R²
    abs(-2.40144692--2.40183042)×8.92223378981261e-05×R²
    0.00038349999999987×8.92223378981261e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.92223378981261e-05×40589641000000     		ar = 342802.885899588m²