Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1929 / 1263
↖ ↑ ↗
← N 56.607885°
W 10.458984°		 ← 5 378.72 m → N 56.607885°
W 10.371094°		 →
↑
5 382.16 m
↓
↑
5 382.16 m
↓
N 56.559482°
W 10.458984°		 ← 5 385.61 m →
28 967 652 m²		 N 56.559482°
W 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4710693359375 y=0.3084716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4710693359375 × 212)
    floor (0.4710693359375 × 4096)
    floor (1929.5)     		tx = 1929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3084716796875 × 212)
    floor (0.3084716796875 × 4096)
    floor (1263.5)     		ty = 1263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1929 / 1263 ti = "12/1929/1263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1929/1263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1929 ÷ 212
    1929 ÷ 4096     		x = 0.470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1263 ÷ 212
    1263 ÷ 4096     		y = 0.308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470947265625 × 2 - 1) × π
    -0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308349609375 × 2 - 1) × π
    0.38330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20417491845581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18254371} λ = -0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20417491845581))-π/2
    2×atan(3.3340071151877)-π/2
    2×1.2793951553661-π/2
    2.55879031073221-1.57079632675     		φ = 0.98799398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98799398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.607885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1929 KachelY 1263 -0.18254371 0.98799398 -10.458984 56.607885
    Oben rechts KachelX + 1 1930 KachelY 1263 -0.18100973 0.98799398 -10.371094 56.607885
    Unten links KachelX 1929 KachelY + 1 1264 -0.18254371 0.98714919 -10.458984 56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 1930 KachelY + 1 1264 -0.18100973 0.98714919 -10.371094 56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98799398-0.98714919) × R
    0.00084479000000004 × 6371000     		dl = 5382.15709000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98799398-0.98714919) × R
    0.00084479000000004 × 6371000     		dr = 5382.15709000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18254371--0.18100973) × cos(0.98799398) × R
    0.00153397999999999 × 0.550365840294863 × 6371000     		do = 5378.71797129209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18254371--0.18100973) × cos(0.98714919) × R
    0.00153397999999999 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 5385.60928182105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98799398)-sin(0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550365840294863-0.55107097894133)×R²
    abs(-0.18100973--0.18254371)×0.00070513864646693×R²
    0.00153397999999999×0.00070513864646693×6371000²
    0.00153397999999999×0.00070513864646693×40589641000000     		ar = 28967651.8449915m²