Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1928 / 411
↖ ↑ ↗
← N 72.659588°
E158.906250°		 ← 5 825.66 m → N 72.659588°
E159.082031°		 →
↑
5 834.18 m
↓
↑
5 834.18 m
↓
N 72.607120°
E158.906250°		 ← 5 842.74 m →
34 037 789 m²		 N 72.607120°
E159.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.941650390625 y=0.200927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.941650390625 × 211)
    floor (0.941650390625 × 2048)
    floor (1928.5)     		tx = 1928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200927734375 × 211)
    floor (0.200927734375 × 2048)
    floor (411.5)     		ty = 411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1928 / 411 ti = "11/1928/411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1928/411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1928 ÷ 211
    1928 ÷ 2048     		x = 0.94140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 411 ÷ 211
    411 ÷ 2048     		y = 0.20068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94140625 × 2 - 1) × π
    0.8828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.77343726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20068359375 × 2 - 1) × π
    0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77343726} λ = 2.77343726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88066044589404))-π/2
    2×atan(6.55783452716632)-π/2
    2×1.41947268935165-π/2
    2.8389453787033-1.57079632675     		φ = 1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77343726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1928 KachelY 411 2.77343726 1.26814905 158.906250 72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 1929 KachelY 411 2.77650523 1.26814905 159.082031 72.659588
    Unten links KachelX 1928 KachelY + 1 412 2.77343726 1.26723331 158.906250 72.607120
    Unten rechts KachelX + 1 1929 KachelY + 1 412 2.77650523 1.26723331 159.082031 72.607120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26814905-1.26723331) × R
    0.000915740000000165 × 6371000     		dl = 5834.17954000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26814905-1.26723331) × R
    0.000915740000000165 × 6371000     		dr = 5834.17954000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77343726-2.77650523) × cos(1.26814905) × R
    0.00306797000000003 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 5825.66126872679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77343726-2.77650523) × cos(1.26723331) × R
    0.00306797000000003 × 0.298922203589153 × 6371000     		du = 5842.74441261528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26814905)-sin(1.26723331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.298922203589153)×R²
    abs(2.77650523-2.77343726)×0.000873995275979089×R²
    0.00306797000000003×0.000873995275979089×6371000²
    0.00306797000000003×0.000873995275979089×40589641000000     		ar = 34037789.2238763m²