Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1927 / 2422
↖ ↑ ↗
← S 31.203405°
W 10.634766°		 ← 8 359.22 m → S 31.203405°
W 10.546875°		 →
↑
8 355.89 m
↓
↑
8 355.89 m
↓
S 31.278551°
W 10.634766°		 ← 8 352.57 m →
69 820 893 m²		 S 31.278551°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4705810546875 y=0.5914306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4705810546875 × 212)
    floor (0.4705810546875 × 4096)
    floor (1927.5)     		tx = 1927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5914306640625 × 212)
    floor (0.5914306640625 × 4096)
    floor (2422.5)     		ty = 2422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1927 / 2422 ti = "12/1927/2422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1927/2422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1927 ÷ 212
    1927 ÷ 4096     		x = 0.470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2422 ÷ 212
    2422 ÷ 4096     		y = 0.59130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.573708814652832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18561168} λ = -0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573708814652832))-π/2
    2×atan(0.563431894349698)-π/2
    2×0.513097086291157-π/2
    1.02619417258231-1.57079632675     		φ = -0.54460215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54460215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.203405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1927 KachelY 2422 -0.18561168 -0.54460215 -10.634766 -31.203405
    Oben rechts KachelX + 1 1928 KachelY 2422 -0.18407769 -0.54460215 -10.546875 -31.203405
    Unten links KachelX 1927 KachelY + 1 2423 -0.18561168 -0.54591370 -10.634766 -31.278551
    Unten rechts KachelX + 1 1928 KachelY + 1 2423 -0.18407769 -0.54591370 -10.546875 -31.278551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54460215--0.54591370) × R
    0.00131154999999994 × 6371000     		dl = 8355.88504999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54460215--0.54591370) × R
    0.00131154999999994 × 6371000     		dr = 8355.88504999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18561168--0.18407769) × cos(-0.54460215) × R
    0.00153399000000001 × 0.855333475735648 × 6371000     		do = 8359.21707308505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18561168--0.18407769) × cos(-0.54591370) × R
    0.00153399000000001 × 0.854653255286648 × 6371000     		du = 8352.56924442869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54460215)-sin(-0.54591370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855333475735648-0.854653255286648)×R²
    abs(-0.18407769--0.18561168)×0.000680220448999291×R²
    0.00153399000000001×0.000680220448999291×6371000²
    0.00153399000000001×0.000680220448999291×40589641000000     		ar = 69820892.733266m²