Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1927 / 2409
↖ ↑ ↗
← S 30.221102°
W 10.634766°		 ← 8 444.79 m → S 30.221102°
W 10.546875°		 →
↑
8 441.51 m
↓
↑
8 441.51 m
↓
S 30.297018°
W 10.634766°		 ← 8 438.26 m →
71 259 259 m²		 S 30.297018°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4705810546875 y=0.5882568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4705810546875 × 212)
    floor (0.4705810546875 × 4096)
    floor (1927.5)     		tx = 1927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5882568359375 × 212)
    floor (0.5882568359375 × 4096)
    floor (2409.5)     		ty = 2409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1927 / 2409 ti = "12/1927/2409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1927/2409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1927 ÷ 212
    1927 ÷ 4096     		x = 0.470458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2409 ÷ 212
    2409 ÷ 4096     		y = 0.588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    -0.05908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18561168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.17626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.553767064410889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18561168} λ = -0.18561168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553767064410889))-π/2
    2×atan(0.574780491829646)-π/2
    2×0.521669297951068-π/2
    1.04333859590214-1.57079632675     		φ = -0.52745773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18561168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.634766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52745773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.221102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1927 KachelY 2409 -0.18561168 -0.52745773 -10.634766 -30.221102
    Oben rechts KachelX + 1 1928 KachelY 2409 -0.18407769 -0.52745773 -10.546875 -30.221102
    Unten links KachelX 1927 KachelY + 1 2410 -0.18561168 -0.52878272 -10.634766 -30.297018
    Unten rechts KachelX + 1 1928 KachelY + 1 2410 -0.18407769 -0.52878272 -10.546875 -30.297018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52745773--0.52878272) × R
    0.00132499000000008 × 6371000     		dl = 8441.51129000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52745773--0.52878272) × R
    0.00132499000000008 × 6371000     		dr = 8441.51129000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18561168--0.18407769) × cos(-0.52745773) × R
    0.00153399000000001 × 0.864089483159158 × 6371000     		do = 8444.78997397463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18561168--0.18407769) × cos(-0.52878272) × R
    0.00153399000000001 × 0.863421806747373 × 6371000     		du = 8438.26473882481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52745773)-sin(-0.52878272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864089483159158-0.863421806747373)×R²
    abs(-0.18407769--0.18561168)×0.000667676411784779×R²
    0.00153399000000001×0.000667676411784779×6371000²
    0.00153399000000001×0.000667676411784779×40589641000000     		ar = 71259258.9091188m²